Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 564 / 297
↖ ↑ ↗
← N 82.202302°
W130.429688°		 ← 1 325.96 m → N 82.202302°
W130.341797°		 →
↑
1 327.02 m
↓
↑
1 327.02 m
↓
N 82.190368°
W130.429688°		 ← 1 327.97 m →
1 760 904 m²		 N 82.190368°
W130.341797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1378173828125 y=0.0726318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1378173828125 × 212)
    floor (0.1378173828125 × 4096)
    floor (564.5)     		tx = 564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0726318359375 × 212)
    floor (0.0726318359375 × 4096)
    floor (297.5)     		ty = 297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 564 / 297 ti = "12/564/297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/564/297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 564 ÷ 212
    564 ÷ 4096     		x = 0.1376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 297 ÷ 212
    297 ÷ 4096     		y = 0.072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1376953125 × 2 - 1) × π
    -0.724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27642749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.072509765625 × 2 - 1) × π
    0.85498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.68600035951099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27642749} λ = -2.27642749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68600035951099))-π/2
    2×atan(14.6728721882451)-π/2
    2×1.50274857094472-π/2
    3.00549714188945-1.57079632675     		φ = 1.43470082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27642749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.429688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43470082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.202302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 564 KachelY 297 -2.27642749 1.43470082 -130.429688 82.202302
    Oben rechts KachelX + 1 565 KachelY 297 -2.27489351 1.43470082 -130.341797 82.202302
    Unten links KachelX 564 KachelY + 1 298 -2.27642749 1.43449253 -130.429688 82.190368
    Unten rechts KachelX + 1 565 KachelY + 1 298 -2.27489351 1.43449253 -130.341797 82.190368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43470082-1.43449253) × R
    0.00020829 × 6371000     		dl = 1327.01559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43470082-1.43449253) × R
    0.00020829 × 6371000     		dr = 1327.01559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27642749--2.27489351) × cos(1.43470082) × R
    0.00153398000000005 × 0.13567576916835 × 6371000     		do = 1325.9574713135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27642749--2.27489351) × cos(1.43449253) × R
    0.00153398000000005 × 0.135882130226926 × 6371000     		du = 1327.9742351696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43470082)-sin(1.43449253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13567576916835-0.135882130226926)×R²
    abs(-2.27489351--2.27642749)×0.000206361058576049×R²
    0.00153398000000005×0.000206361058576049×6371000²
    0.00153398000000005×0.000206361058576049×40589641000000     		ar = 1760904.38101411m²