Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56398 / 16556
↖ ↑ ↗
← N 79.082221°
W 25.098267°		 ← 57.85 m → N 79.082221°
W 25.095520°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.081701°
W 25.098267°		 ← 57.85 m →
3 346 m²		 N 79.081701°
W 25.095520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430286407470703 y=0.126316070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430286407470703 × 217)
    floor (0.430286407470703 × 131072)
    floor (56398.5)     		tx = 56398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126316070556641 × 217)
    floor (0.126316070556641 × 131072)
    floor (16556.5)     		ty = 16556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56398 / 16556 ti = "17/56398/16556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56398/16556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56398 ÷ 217
    56398 ÷ 131072     		x = 0.430282592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16556 ÷ 217
    16556 ÷ 131072     		y = 0.126312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430282592773438 × 2 - 1) × π
    -0.139434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43804739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126312255859375 × 2 - 1) × π
    0.74737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34794934339035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43804739} λ = -0.43804739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34794934339035))-π/2
    2×atan(10.4640894537229)-π/2
    2×1.4755207312754-π/2
    2.95104146255079-1.57079632675     		φ = 1.38024514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43804739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.098267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38024514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.082221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56398 KachelY 16556 -0.43804739 1.38024514 -25.098267 79.082221
    Oben rechts KachelX + 1 56399 KachelY 16556 -0.43799945 1.38024514 -25.095520 79.082221
    Unten links KachelX 56398 KachelY + 1 16557 -0.43804739 1.38023606 -25.098267 79.081701
    Unten rechts KachelX + 1 56399 KachelY + 1 16557 -0.43799945 1.38023606 -25.095520 79.081701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38024514-1.38023606) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38024514-1.38023606) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43804739--0.43799945) × cos(1.38024514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189400134027708 × 6371000     		do = 57.8476760914738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43804739--0.43799945) × cos(1.38023606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189409049671804 × 6371000     		du = 57.8503991586695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38024514)-sin(1.38023606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189400134027708-0.189409049671804)×R²
    abs(-0.43799945--0.43804739)×8.9156440960525e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.9156440960525e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.9156440960525e-06×40589641000000     		ar = 3346.49046590945m²