Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56395 / 86981
↖ ↑ ↗
← S 50.633784°
W 25.106506°		 ← 193.72 m → S 50.633784°
W 25.103760°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 50.635526°
W 25.106506°		 ← 193.72 m →
37 519 m²		 S 50.635526°
W 25.103760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430263519287109 y=0.663616180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430263519287109 × 217)
    floor (0.430263519287109 × 131072)
    floor (56395.5)     		tx = 56395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663616180419922 × 217)
    floor (0.663616180419922 × 131072)
    floor (86981.5)     		ty = 86981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56395 / 86981 ti = "17/56395/86981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56395/86981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56395 ÷ 217
    56395 ÷ 131072     		x = 0.430259704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86981 ÷ 217
    86981 ÷ 131072     		y = 0.663612365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430259704589844 × 2 - 1) × π
    -0.139480590820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43819120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663612365722656 × 2 - 1) × π
    -0.327224731445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.0280068123521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43819120} λ = -0.43819120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0280068123521))-π/2
    2×atan(0.357719252062654)-π/2
    2×0.343535038940259-π/2
    0.687070077880519-1.57079632675     		φ = -0.88372625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43819120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.106506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88372625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.633784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56395 KachelY 86981 -0.43819120 -0.88372625 -25.106506 -50.633784
    Oben rechts KachelX + 1 56396 KachelY 86981 -0.43814326 -0.88372625 -25.103760 -50.633784
    Unten links KachelX 56395 KachelY + 1 86982 -0.43819120 -0.88375665 -25.106506 -50.635526
    Unten rechts KachelX + 1 56396 KachelY + 1 86982 -0.43814326 -0.88375665 -25.103760 -50.635526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88372625--0.88375665) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88372625--0.88375665) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43819120--0.43814326) × cos(-0.88372625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634274761699969 × 6371000     		do = 193.723838455634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43819120--0.43814326) × cos(-0.88375665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634251258932593 × 6371000     		du = 193.716660105516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88372625)-sin(-0.88375665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634274761699969-0.634251258932593)×R²
    abs(-0.43814326--0.43819120)×2.35027673758381e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35027673758381e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35027673758381e-05×40589641000000     		ar = 37519.4279311903m²