Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56395 / 86979
↖ ↑ ↗
← S 50.630300°
W 25.106506°		 ← 193.74 m → S 50.630300°
W 25.103760°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 50.632042°
W 25.106506°		 ← 193.73 m →
37 522 m²		 S 50.632042°
W 25.103760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430263519287109 y=0.663600921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430263519287109 × 217)
    floor (0.430263519287109 × 131072)
    floor (56395.5)     		tx = 56395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663600921630859 × 217)
    floor (0.663600921630859 × 131072)
    floor (86979.5)     		ty = 86979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56395 / 86979 ti = "17/56395/86979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56395/86979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56395 ÷ 217
    56395 ÷ 131072     		x = 0.430259704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86979 ÷ 217
    86979 ÷ 131072     		y = 0.663597106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430259704589844 × 2 - 1) × π
    -0.139480590820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43819120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663597106933594 × 2 - 1) × π
    -0.327194213867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.02791093855286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43819120} λ = -0.43819120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02791093855286))-π/2
    2×atan(0.357753549610502)-π/2
    2×0.343565445232719-π/2
    0.687130890465438-1.57079632675     		φ = -0.88366544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43819120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.106506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88366544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.630300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56395 KachelY 86979 -0.43819120 -0.88366544 -25.106506 -50.630300
    Oben rechts KachelX + 1 56396 KachelY 86979 -0.43814326 -0.88366544 -25.103760 -50.630300
    Unten links KachelX 56395 KachelY + 1 86980 -0.43819120 -0.88369584 -25.106506 -50.632042
    Unten rechts KachelX + 1 56396 KachelY + 1 86980 -0.43814326 -0.88369584 -25.103760 -50.632042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88366544--0.88369584) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88366544--0.88369584) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43819120--0.43814326) × cos(-0.88366544) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634321773206877 × 6371000     		do = 193.73819697992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43819120--0.43814326) × cos(-0.88369584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634298271612058 × 6371000     		du = 193.731018987931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88366544)-sin(-0.88369584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634321773206877-0.634298271612058)×R²
    abs(-0.43814326--0.43819120)×2.35015948185646e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35015948185646e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35015948185646e-05×40589641000000     		ar = 37522.2089017435m²