Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56395 / 13993
↖ ↑ ↗
← N 80.338114°
W 25.106506°		 ← 51.26 m → N 80.338114°
W 25.103760°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.337653°
W 25.106506°		 ← 51.26 m →
2 626 m²		 N 80.337653°
W 25.103760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430263519287109 y=0.106761932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430263519287109 × 217)
    floor (0.430263519287109 × 131072)
    floor (56395.5)     		tx = 56395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106761932373047 × 217)
    floor (0.106761932373047 × 131072)
    floor (13993.5)     		ty = 13993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56395 / 13993 ti = "17/56395/13993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56395/13993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56395 ÷ 217
    56395 ÷ 131072     		x = 0.430259704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13993 ÷ 217
    13993 ÷ 131072     		y = 0.106758117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430259704589844 × 2 - 1) × π
    -0.139480590820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43819120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106758117675781 × 2 - 1) × π
    0.786483764648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.47081161711655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43819120} λ = -0.43819120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47081161711655))-π/2
    2×atan(11.8320460467793)-π/2
    2×1.48648046538902-π/2
    2.97296093077804-1.57079632675     		φ = 1.40216460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43819120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.106506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40216460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.338114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56395 KachelY 13993 -0.43819120 1.40216460 -25.106506 80.338114
    Oben rechts KachelX + 1 56396 KachelY 13993 -0.43814326 1.40216460 -25.103760 80.338114
    Unten links KachelX 56395 KachelY + 1 13994 -0.43819120 1.40215656 -25.106506 80.337653
    Unten rechts KachelX + 1 56396 KachelY + 1 13994 -0.43814326 1.40215656 -25.103760 80.337653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40216460-1.40215656) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40216460-1.40215656) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43819120--0.43814326) × cos(1.40216460) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167833641890695 × 6371000     		do = 51.2607142713861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43819120--0.43814326) × cos(1.40215656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167841567840539 × 6371000     		du = 51.2631350604824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40216460)-sin(1.40215656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167833641890695-0.167841567840539)×R²
    abs(-0.43814326--0.43819120)×7.92594984402872e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.92594984402872e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.92594984402872e-06×40589641000000     		ar = 2625.78136532363m²