Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56394 / 29647
↖ ↑ ↗
← N 69.703821°
W 25.109253°		 ← 105.94 m → N 69.703821°
W 25.106506°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
N 69.702868°
W 25.109253°		 ← 105.95 m →
11 218 m²		 N 69.702868°
W 25.106506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430255889892578 y=0.226192474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430255889892578 × 217)
    floor (0.430255889892578 × 131072)
    floor (56394.5)     		tx = 56394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226192474365234 × 217)
    floor (0.226192474365234 × 131072)
    floor (29647.5)     		ty = 29647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56394 / 29647 ti = "17/56394/29647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56394/29647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56394 ÷ 217
    56394 ÷ 131072     		x = 0.430252075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29647 ÷ 217
    29647 ÷ 131072     		y = 0.226188659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430252075195312 × 2 - 1) × π
    -0.139495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43823914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226188659667969 × 2 - 1) × π
    0.547622680664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.7204073904642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43823914} λ = -0.43823914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7204073904642))-π/2
    2×atan(5.58680401140606)-π/2
    2×1.39367875035132-π/2
    2.78735750070264-1.57079632675     		φ = 1.21656117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43823914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.109253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21656117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.703821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56394 KachelY 29647 -0.43823914 1.21656117 -25.109253 69.703821
    Oben rechts KachelX + 1 56395 KachelY 29647 -0.43819120 1.21656117 -25.106506 69.703821
    Unten links KachelX 56394 KachelY + 1 29648 -0.43823914 1.21654455 -25.109253 69.702868
    Unten rechts KachelX + 1 56395 KachelY + 1 29648 -0.43819120 1.21654455 -25.106506 69.702868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21656117-1.21654455) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21656117-1.21654455) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43823914--0.43819120) × cos(1.21656117) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34687311109235 × 6371000     		do = 105.943976641536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43823914--0.43819120) × cos(1.21654455) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34688869914299 × 6371000     		du = 105.948737633438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21656117)-sin(1.21654455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34687311109235-0.34688869914299)×R²
    abs(-0.43819120--0.43823914)×1.5588050639892e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5588050639892e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5588050639892e-05×40589641000000     		ar = 11218.2380910911m²