Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56393 / 16551
↖ ↑ ↗
← N 79.084822°
W 25.111999°		 ← 57.82 m → N 79.084822°
W 25.109253°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.084302°
W 25.111999°		 ← 57.82 m →
3 345 m²		 N 79.084302°
W 25.109253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430248260498047 y=0.126277923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430248260498047 × 217)
    floor (0.430248260498047 × 131072)
    floor (56393.5)     		tx = 56393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126277923583984 × 217)
    floor (0.126277923583984 × 131072)
    floor (16551.5)     		ty = 16551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56393 / 16551 ti = "17/56393/16551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56393/16551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56393 ÷ 217
    56393 ÷ 131072     		x = 0.430244445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16551 ÷ 217
    16551 ÷ 131072     		y = 0.126274108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430244445800781 × 2 - 1) × π
    -0.139511108398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43828707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126274108886719 × 2 - 1) × π
    0.747451782226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.34818902788845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43828707} λ = -0.43828707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34818902788845))-π/2
    2×atan(10.4665978343496)-π/2
    2×1.47554342674317-π/2
    2.95108685348634-1.57079632675     		φ = 1.38029053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43828707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.111999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38029053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.084822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56393 KachelY 16551 -0.43828707 1.38029053 -25.111999 79.084822
    Oben rechts KachelX + 1 56394 KachelY 16551 -0.43823914 1.38029053 -25.109253 79.084822
    Unten links KachelX 56393 KachelY + 1 16552 -0.43828707 1.38028145 -25.111999 79.084302
    Unten rechts KachelX + 1 56394 KachelY + 1 16552 -0.43823914 1.38028145 -25.109253 79.084302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38029053-1.38028145) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38029053-1.38028145) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43828707--0.43823914) × cos(1.38029053) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.189355565392097 × 6371000     		do = 57.8219998398969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43828707--0.43823914) × cos(1.38028145) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.189364481114245 × 6371000     		du = 57.824722362911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38029053)-sin(1.38028145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189355565392097-0.189364481114245)×R²
    abs(-0.43823914--0.43828707)×8.9157221483116e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.9157221483116e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.9157221483116e-06×40589641000000     		ar = 3345.0051129359m²