Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56392 / 29688
↖ ↑ ↗
← N 69.664724°
W 25.114746°		 ← 106.14 m → N 69.664724°
W 25.111999°		 →
↑
106.14 m
↓
↑
106.14 m
↓
N 69.663769°
W 25.114746°		 ← 106.14 m →
11 266 m²		 N 69.663769°
W 25.111999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430240631103516 y=0.226505279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430240631103516 × 217)
    floor (0.430240631103516 × 131072)
    floor (56392.5)     		tx = 56392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226505279541016 × 217)
    floor (0.226505279541016 × 131072)
    floor (29688.5)     		ty = 29688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56392 / 29688 ti = "17/56392/29688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56392/29688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56392 ÷ 217
    56392 ÷ 131072     		x = 0.43023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29688 ÷ 217
    29688 ÷ 131072     		y = 0.22650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.1395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43833501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22650146484375 × 2 - 1) × π
    0.5469970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71844197757977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43833501} λ = -0.43833501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71844197757977))-π/2
    2×atan(5.57583441824032)-π/2
    2×1.39333756156603-π/2
    2.78667512313205-1.57079632675     		φ = 1.21587880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43833501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21587880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.664724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56392 KachelY 29688 -0.43833501 1.21587880 -25.114746 69.664724
    Oben rechts KachelX + 1 56393 KachelY 29688 -0.43828707 1.21587880 -25.111999 69.664724
    Unten links KachelX 56392 KachelY + 1 29689 -0.43833501 1.21586214 -25.114746 69.663769
    Unten rechts KachelX + 1 56393 KachelY + 1 29689 -0.43828707 1.21586214 -25.111999 69.663769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21587880-1.21586214) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dl = 106.140860000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21587880-1.21586214) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dr = 106.140860000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43833501--0.43828707) × cos(1.21587880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34751303334256 × 6371000     		do = 106.139425368349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43833501--0.43828707) × cos(1.21586214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347528654962373 × 6371000     		du = 106.144196613141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21587880)-sin(1.21586214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34751303334256-0.347528654962373)×R²
    abs(-0.43828707--0.43833501)×1.5621619813222e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5621619813222e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5621619813222e-05×40589641000000     		ar = 11265.9831007972m²