Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56391 / 16569
↖ ↑ ↗
← N 79.075456°
W 25.117493°		 ← 57.88 m → N 79.075456°
W 25.114746°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.074935°
W 25.117493°		 ← 57.89 m →
3 352 m²		 N 79.074935°
W 25.114746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430233001708984 y=0.126415252685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430233001708984 × 217)
    floor (0.430233001708984 × 131072)
    floor (56391.5)     		tx = 56391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126415252685547 × 217)
    floor (0.126415252685547 × 131072)
    floor (16569.5)     		ty = 16569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56391 / 16569 ti = "17/56391/16569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56391/16569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56391 ÷ 217
    56391 ÷ 131072     		x = 0.430229187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16569 ÷ 217
    16569 ÷ 131072     		y = 0.126411437988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430229187011719 × 2 - 1) × π
    -0.139541625976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43838295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126411437988281 × 2 - 1) × π
    0.747177124023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.34732616369529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43838295} λ = -0.43838295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34732616369529))-π/2
    2×atan(10.4575704771059)-π/2
    2×1.47546169805598-π/2
    2.95092339611195-1.57079632675     		φ = 1.38012707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43838295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.117493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38012707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.075456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56391 KachelY 16569 -0.43838295 1.38012707 -25.117493 79.075456
    Oben rechts KachelX + 1 56392 KachelY 16569 -0.43833501 1.38012707 -25.114746 79.075456
    Unten links KachelX 56391 KachelY + 1 16570 -0.43838295 1.38011798 -25.117493 79.074935
    Unten rechts KachelX + 1 56392 KachelY + 1 16570 -0.43833501 1.38011798 -25.114746 79.074935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38012707-1.38011798) × R
    9.08999999982285e-06 × 6371000     		dl = 57.9123899988714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38012707-1.38011798) × R
    9.08999999982285e-06 × 6371000     		dr = 57.9123899988714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43838295--0.43833501) × cos(1.38012707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189516065639021 × 6371000     		do = 57.8830845896486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43838295--0.43833501) × cos(1.38011798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189524990898758 × 6371000     		du = 57.8858105937084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38012707)-sin(1.38011798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189516065639021-0.189524990898758)×R²
    abs(-0.43833501--0.43838295)×8.9252597367806e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.9252597367806e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.9252597367806e-06×40589641000000     		ar = 3352.22670379401m²