Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56387 / 18372
↖ ↑ ↗
← N 78.096030°
W 25.128479°		 ← 62.99 m → N 78.096030°
W 25.125733°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.095463°
W 25.128479°		 ← 62.99 m →
3 969 m²		 N 78.095463°
W 25.125733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430202484130859 y=0.140171051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430202484130859 × 217)
    floor (0.430202484130859 × 131072)
    floor (56387.5)     		tx = 56387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140171051025391 × 217)
    floor (0.140171051025391 × 131072)
    floor (18372.5)     		ty = 18372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56387 / 18372 ti = "17/56387/18372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56387/18372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56387 ÷ 217
    56387 ÷ 131072     		x = 0.430198669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18372 ÷ 217
    18372 ÷ 131072     		y = 0.140167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430198669433594 × 2 - 1) × π
    -0.139602661132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43857469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140167236328125 × 2 - 1) × π
    0.71966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26089593368033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43857469} λ = -0.43857469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26089593368033))-π/2
    2×atan(9.59167882641859)-π/2
    2×1.46691458836704-π/2
    2.93382917673408-1.57079632675     		φ = 1.36303285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43857469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.128479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36303285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.096030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56387 KachelY 18372 -0.43857469 1.36303285 -25.128479 78.096030
    Oben rechts KachelX + 1 56388 KachelY 18372 -0.43852676 1.36303285 -25.125733 78.096030
    Unten links KachelX 56387 KachelY + 1 18373 -0.43857469 1.36302296 -25.128479 78.095463
    Unten rechts KachelX + 1 56388 KachelY + 1 18373 -0.43852676 1.36302296 -25.125733 78.095463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36303285-1.36302296) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36303285-1.36302296) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43857469--0.43852676) × cos(1.36303285) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.206271991471827 × 6371000     		do = 62.9876340479454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43857469--0.43852676) × cos(1.36302296) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.206281668774259 × 6371000     		du = 62.9905891286611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36303285)-sin(1.36302296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206271991471827-0.206281668774259)×R²
    abs(-0.43852676--0.43857469)×9.67730243234266e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.67730243234266e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.67730243234266e-06×40589641000000     		ar = 3968.89290013142m²