Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56386 / 86975
↖ ↑ ↗
← S 50.623331°
W 25.131225°		 ← 193.77 m → S 50.623331°
W 25.128479°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
S 50.625073°
W 25.131225°		 ← 193.76 m →
37 540 m²		 S 50.625073°
W 25.128479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430194854736328 y=0.663570404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430194854736328 × 217)
    floor (0.430194854736328 × 131072)
    floor (56386.5)     		tx = 56386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663570404052734 × 217)
    floor (0.663570404052734 × 131072)
    floor (86975.5)     		ty = 86975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56386 / 86975 ti = "17/56386/86975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56386/86975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56386 ÷ 217
    56386 ÷ 131072     		x = 0.430191040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86975 ÷ 217
    86975 ÷ 131072     		y = 0.663566589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430191040039062 × 2 - 1) × π
    -0.139617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43862263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663566589355469 × 2 - 1) × π
    -0.327133178710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.02771919095438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43862263} λ = -0.43862263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02771919095438))-π/2
    2×atan(0.357822154571696)-π/2
    2×0.34362626457882-π/2
    0.68725252915764-1.57079632675     		φ = -0.88354380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43862263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.131225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88354380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.623331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56386 KachelY 86975 -0.43862263 -0.88354380 -25.131225 -50.623331
    Oben rechts KachelX + 1 56387 KachelY 86975 -0.43857469 -0.88354380 -25.128479 -50.623331
    Unten links KachelX 56386 KachelY + 1 86976 -0.43862263 -0.88357421 -25.131225 -50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 56387 KachelY + 1 86976 -0.43857469 -0.88357421 -25.128479 -50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88354380--0.88357421) × R
    3.04100000000362e-05 × 6371000     		dl = 193.742110000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88354380--0.88357421) × R
    3.04100000000362e-05 × 6371000     		dr = 193.742110000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43862263--0.43857469) × cos(-0.88354380) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634415804643465 × 6371000     		do = 193.766916601023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43862263--0.43857469) × cos(-0.88357421) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 193.759736964515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88354380)-sin(-0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634415804643465-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.43857469--0.43862263)×2.35069791701958e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35069791701958e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35069791701958e-05×40589641000000     		ar = 37540.1157744496m²