Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56379 / 16549
↖ ↑ ↗
← N 79.085862°
W 25.150452°		 ← 57.83 m → N 79.085862°
W 25.147705°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.085342°
W 25.150452°		 ← 57.83 m →
3 345 m²		 N 79.085342°
W 25.147705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430141448974609 y=0.126262664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430141448974609 × 217)
    floor (0.430141448974609 × 131072)
    floor (56379.5)     		tx = 56379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126262664794922 × 217)
    floor (0.126262664794922 × 131072)
    floor (16549.5)     		ty = 16549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56379 / 16549 ti = "17/56379/16549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56379/16549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56379 ÷ 217
    56379 ÷ 131072     		x = 0.430137634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16549 ÷ 217
    16549 ÷ 131072     		y = 0.126258850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430137634277344 × 2 - 1) × π
    -0.139724731445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43895819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126258850097656 × 2 - 1) × π
    0.747482299804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.34828490168769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43895819} λ = -0.43895819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34828490168769))-π/2
    2×atan(10.467601354954)-π/2
    2×1.47555250343481-π/2
    2.95110500686962-1.57079632675     		φ = 1.38030868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43895819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.150452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38030868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.085862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56379 KachelY 16549 -0.43895819 1.38030868 -25.150452 79.085862
    Oben rechts KachelX + 1 56380 KachelY 16549 -0.43891025 1.38030868 -25.147705 79.085862
    Unten links KachelX 56379 KachelY + 1 16550 -0.43895819 1.38029960 -25.150452 79.085342
    Unten rechts KachelX + 1 56380 KachelY + 1 16550 -0.43891025 1.38029960 -25.147705 79.085342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38030868-1.38029960) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38030868-1.38029960) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43895819--0.43891025) × cos(1.38030868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.189337743720086 × 6371000     		do = 57.8286204856667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43895819--0.43891025) × cos(1.38029960) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.18934665947344 × 6371000     		du = 57.8313435862324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38030868)-sin(1.38029960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189337743720086-0.18934665947344)×R²
    abs(-0.43891025--0.43895819)×8.91575335373873e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.91575335373873e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.91575335373873e-06×40589641000000     		ar = 3345.38812520566m²