Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56377 / 86955
↖ ↑ ↗
← S 50.588468°
W 25.155945°		 ← 193.87 m → S 50.588468°
W 25.153198°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 50.590212°
W 25.155945°		 ← 193.86 m →
37 597 m²		 S 50.590212°
W 25.153198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430126190185547 y=0.663417816162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430126190185547 × 217)
    floor (0.430126190185547 × 131072)
    floor (56377.5)     		tx = 56377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663417816162109 × 217)
    floor (0.663417816162109 × 131072)
    floor (86955.5)     		ty = 86955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56377 / 86955 ti = "17/56377/86955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56377/86955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56377 ÷ 217
    56377 ÷ 131072     		x = 0.430122375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86955 ÷ 217
    86955 ÷ 131072     		y = 0.663414001464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430122375488281 × 2 - 1) × π
    -0.139755249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43905406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663414001464844 × 2 - 1) × π
    -0.326828002929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.02676045296198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43905406} λ = -0.43905406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02676045296198))-π/2
    2×atan(0.358165376769597)-π/2
    2×0.343930496547119-π/2
    0.687860993094238-1.57079632675     		φ = -0.88293533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43905406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.155945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88293533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.588468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56377 KachelY 86955 -0.43905406 -0.88293533 -25.155945 -50.588468
    Oben rechts KachelX + 1 56378 KachelY 86955 -0.43900613 -0.88293533 -25.153198 -50.588468
    Unten links KachelX 56377 KachelY + 1 86956 -0.43905406 -0.88296577 -25.155945 -50.590212
    Unten rechts KachelX + 1 56378 KachelY + 1 86956 -0.43900613 -0.88296577 -25.153198 -50.590212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88293533--0.88296577) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88293533--0.88296577) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43905406--0.43900613) × cos(-0.88293533) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634886029597175 × 6371000     		do = 193.870086816552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43905406--0.43900613) × cos(-0.88296577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634862511182343 × 6371000     		du = 193.862905185657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88293533)-sin(-0.88296577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634886029597175-0.634862511182343)×R²
    abs(-0.43900613--0.43905406)×2.35184148313916e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35184148313916e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35184148313916e-05×40589641000000     		ar = 37597.1576998541m²