Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56376 / 87384
↖ ↑ ↗
← S 51.330612°
W 25.158691°		 ← 190.84 m → S 51.330612°
W 25.155945°		 →
↑
190.81 m
↓
↑
190.81 m
↓
S 51.332328°
W 25.158691°		 ← 190.83 m →
36 413 m²		 S 51.332328°
W 25.155945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430118560791016 y=0.666690826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430118560791016 × 217)
    floor (0.430118560791016 × 131072)
    floor (56376.5)     		tx = 56376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666690826416016 × 217)
    floor (0.666690826416016 × 131072)
    floor (87384.5)     		ty = 87384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56376 / 87384 ti = "17/56376/87384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56376/87384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56376 ÷ 217
    56376 ÷ 131072     		x = 0.43011474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87384 ÷ 217
    87384 ÷ 131072     		y = 0.66668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.1397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43910200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.3333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04732538289899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43910200} λ = -0.43910200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04732538289899))-π/2
    2×atan(0.350874951369116)-π/2
    2×0.337454073336621-π/2
    0.674908146673243-1.57079632675     		φ = -0.89588818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43910200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89588818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.330612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56376 KachelY 87384 -0.43910200 -0.89588818 -25.158691 -51.330612
    Oben rechts KachelX + 1 56377 KachelY 87384 -0.43905406 -0.89588818 -25.155945 -51.330612
    Unten links KachelX 56376 KachelY + 1 87385 -0.43910200 -0.89591813 -25.158691 -51.332328
    Unten rechts KachelX + 1 56377 KachelY + 1 87385 -0.43905406 -0.89591813 -25.155945 -51.332328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89588818--0.89591813) × R
    2.99499999999453e-05 × 6371000     		dl = 190.811449999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89588818--0.89591813) × R
    2.99499999999453e-05 × 6371000     		dr = 190.811449999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43910200--0.43905406) × cos(-0.89588818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62482560365596 × 6371000     		do = 190.837822367443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43910200--0.43905406) × cos(-0.89591813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624802219483546 × 6371000     		du = 190.830680239279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89588818)-sin(-0.89591813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62482560365596-0.624802219483546)×R²
    abs(-0.43905406--0.43910200)×2.33841724139872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33841724139872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33841724139872e-05×40589641000000     		ar = 36413.3602035906m²