Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56376 / 86985
↖ ↑ ↗
← S 50.640752°
W 25.158691°		 ← 193.70 m → S 50.640752°
W 25.155945°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 50.642494°
W 25.158691°		 ← 193.69 m →
37 514 m²		 S 50.642494°
W 25.155945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430118560791016 y=0.663646697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430118560791016 × 217)
    floor (0.430118560791016 × 131072)
    floor (56376.5)     		tx = 56376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663646697998047 × 217)
    floor (0.663646697998047 × 131072)
    floor (86985.5)     		ty = 86985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56376 / 86985 ti = "17/56376/86985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56376/86985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56376 ÷ 217
    56376 ÷ 131072     		x = 0.43011474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86985 ÷ 217
    86985 ÷ 131072     		y = 0.663642883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.1397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43910200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663642883300781 × 2 - 1) × π
    -0.327285766601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.02819855995058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43910200} λ = -0.43910200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02819855995058))-π/2
    2×atan(0.357650666830878)-π/2
    2×0.343474233116248-π/2
    0.686948466232497-1.57079632675     		φ = -0.88384786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43910200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88384786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.640752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56376 KachelY 86985 -0.43910200 -0.88384786 -25.158691 -50.640752
    Oben rechts KachelX + 1 56377 KachelY 86985 -0.43905406 -0.88384786 -25.155945 -50.640752
    Unten links KachelX 56376 KachelY + 1 86986 -0.43910200 -0.88387826 -25.158691 -50.642494
    Unten rechts KachelX + 1 56377 KachelY + 1 86986 -0.43905406 -0.88387826 -25.155945 -50.642494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88384786--0.88387826) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88384786--0.88387826) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43910200--0.43905406) × cos(-0.88384786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634180739381807 × 6371000     		do = 193.695121619308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43910200--0.43905406) × cos(-0.88387826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63415723426977 × 6371000     		du = 193.687942553071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88384786)-sin(-0.88387826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634180739381807-0.63415723426977)×R²
    abs(-0.43905406--0.43910200)×2.3505112036859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3505112036859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3505112036859e-05×40589641000000     		ar = 37513.8660308709m²