Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56374 / 13986
↖ ↑ ↗
← N 80.341340°
W 25.164184°		 ← 51.23 m → N 80.341340°
W 25.161438°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.340879°
W 25.164184°		 ← 51.24 m →
2 624 m²		 N 80.340879°
W 25.161438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430103302001953 y=0.106708526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430103302001953 × 217)
    floor (0.430103302001953 × 131072)
    floor (56374.5)     		tx = 56374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106708526611328 × 217)
    floor (0.106708526611328 × 131072)
    floor (13986.5)     		ty = 13986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56374 / 13986 ti = "17/56374/13986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56374/13986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56374 ÷ 217
    56374 ÷ 131072     		x = 0.430099487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13986 ÷ 217
    13986 ÷ 131072     		y = 0.106704711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430099487304688 × 2 - 1) × π
    -0.139801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43919787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106704711914062 × 2 - 1) × π
    0.786590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47114717541389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43919787} λ = -0.43919787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47114717541389))-π/2
    2×atan(11.8360170542198)-π/2
    2×1.48650861971694-π/2
    2.97301723943388-1.57079632675     		φ = 1.40222091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43919787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.164184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40222091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.341340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56374 KachelY 13986 -0.43919787 1.40222091 -25.164184 80.341340
    Oben rechts KachelX + 1 56375 KachelY 13986 -0.43914994 1.40222091 -25.161438 80.341340
    Unten links KachelX 56374 KachelY + 1 13987 -0.43919787 1.40221287 -25.164184 80.340879
    Unten rechts KachelX + 1 56375 KachelY + 1 13987 -0.43914994 1.40221287 -25.161438 80.340879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40222091-1.40221287) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40222091-1.40221287) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43919787--0.43914994) × cos(1.40222091) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.167778130363299 × 6371000     		do = 51.2330704773136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43919787--0.43914994) × cos(1.40221287) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.167786056389116 × 6371000     		du = 51.2354907846469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40222091)-sin(1.40221287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167778130363299-0.167786056389116)×R²
    abs(-0.43914994--0.43919787)×7.92602581697888e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.92602581697888e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.92602581697888e-06×40589641000000     		ar = 2624.36535945007m²