Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56373 / 86957
↖ ↑ ↗
← S 50.591956°
W 25.166931°		 ← 193.90 m → S 50.591956°
W 25.164184°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
S 50.593699°
W 25.166931°		 ← 193.89 m →
37 590 m²		 S 50.593699°
W 25.164184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430095672607422 y=0.663433074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430095672607422 × 217)
    floor (0.430095672607422 × 131072)
    floor (56373.5)     		tx = 56373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663433074951172 × 217)
    floor (0.663433074951172 × 131072)
    floor (86957.5)     		ty = 86957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56373 / 86957 ti = "17/56373/86957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56373/86957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56373 ÷ 217
    56373 ÷ 131072     		x = 0.430091857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86957 ÷ 217
    86957 ÷ 131072     		y = 0.663429260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430091857910156 × 2 - 1) × π
    -0.139816284179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43924581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663429260253906 × 2 - 1) × π
    -0.326858520507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.02685632676122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43924581} λ = -0.43924581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02685632676122))-π/2
    2×atan(0.358131039740207)-π/2
    2×0.343900063206557-π/2
    0.687800126413114-1.57079632675     		φ = -0.88299620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43924581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.166931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88299620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.591956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56373 KachelY 86957 -0.43924581 -0.88299620 -25.166931 -50.591956
    Oben rechts KachelX + 1 56374 KachelY 86957 -0.43919787 -0.88299620 -25.164184 -50.591956
    Unten links KachelX 56373 KachelY + 1 86958 -0.43924581 -0.88302663 -25.166931 -50.593699
    Unten rechts KachelX + 1 56374 KachelY + 1 86958 -0.43919787 -0.88302663 -25.164184 -50.593699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88299620--0.88302663) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88299620--0.88302663) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43924581--0.43919787) × cos(-0.88299620) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634838999905697 × 6371000     		do = 193.896171327155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43924581--0.43919787) × cos(-0.88302663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634815488041199 × 6371000     		du = 193.888990198542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88299620)-sin(-0.88302663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634838999905697-0.634815488041199)×R²
    abs(-0.43919787--0.43924581)×2.35118644978938e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35118644978938e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35118644978938e-05×40589641000000     		ar = 37589.8635059845m²