Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56372 / 86958
↖ ↑ ↗
← S 50.593699°
W 25.169678°		 ← 193.89 m → S 50.593699°
W 25.166931°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
S 50.595443°
W 25.169678°		 ← 193.88 m →
37 588 m²		 S 50.595443°
W 25.166931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430088043212891 y=0.663440704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430088043212891 × 217)
    floor (0.430088043212891 × 131072)
    floor (56372.5)     		tx = 56372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663440704345703 × 217)
    floor (0.663440704345703 × 131072)
    floor (86958.5)     		ty = 86958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56372 / 86958 ti = "17/56372/86958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56372/86958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56372 ÷ 217
    56372 ÷ 131072     		x = 0.430084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86958 ÷ 217
    86958 ÷ 131072     		y = 0.663436889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430084228515625 × 2 - 1) × π
    -0.13983154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43929375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663436889648438 × 2 - 1) × π
    -0.326873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02690426366084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43929375} λ = -0.43929375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02690426366084))-π/2
    2×atan(0.358113872459981)-π/2
    2×0.343884847381645-π/2
    0.687769694763289-1.57079632675     		φ = -0.88302663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43929375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.169678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88302663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.593699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56372 KachelY 86958 -0.43929375 -0.88302663 -25.169678 -50.593699
    Oben rechts KachelX + 1 56373 KachelY 86958 -0.43924581 -0.88302663 -25.166931 -50.593699
    Unten links KachelX 56372 KachelY + 1 86959 -0.43929375 -0.88305706 -25.169678 -50.595443
    Unten rechts KachelX + 1 56373 KachelY + 1 86959 -0.43924581 -0.88305706 -25.166931 -50.595443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88302663--0.88305706) × R
    3.04299999999147e-05 × 6371000     		dl = 193.869529999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88302663--0.88305706) × R
    3.04299999999147e-05 × 6371000     		dr = 193.869529999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43929375--0.43924581) × cos(-0.88302663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634815488041199 × 6371000     		do = 193.888990198317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43929375--0.43924581) × cos(-0.88305706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634791975588872 × 6371000     		du = 193.881808890166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88302663)-sin(-0.88305706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634815488041199-0.634791975588872)×R²
    abs(-0.43924581--0.43929375)×2.35124523272345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35124523272345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35124523272345e-05×40589641000000     		ar = 37588.4712862299m²