Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56371 / 86996
↖ ↑ ↗
← S 50.659908°
W 25.172425°		 ← 193.62 m → S 50.659908°
W 25.169678°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
S 50.661650°
W 25.172425°		 ← 193.61 m →
37 486 m²		 S 50.661650°
W 25.169678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430080413818359 y=0.663730621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430080413818359 × 217)
    floor (0.430080413818359 × 131072)
    floor (56371.5)     		tx = 56371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663730621337891 × 217)
    floor (0.663730621337891 × 131072)
    floor (86996.5)     		ty = 86996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56371 / 86996 ti = "17/56371/86996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56371/86996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56371 ÷ 217
    56371 ÷ 131072     		x = 0.430076599121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86996 ÷ 217
    86996 ÷ 131072     		y = 0.663726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430076599121094 × 2 - 1) × π
    -0.139846801757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43934169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.32745361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02872586584641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43934169} λ = -0.43934169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02872586584641))-π/2
    2×atan(0.357462125239529)-π/2
    2×0.34330706357827-π/2
    0.68661412715654-1.57079632675     		φ = -0.88418220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43934169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.172425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88418220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.659908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56371 KachelY 86996 -0.43934169 -0.88418220 -25.172425 -50.659908
    Oben rechts KachelX + 1 56372 KachelY 86996 -0.43929375 -0.88418220 -25.169678 -50.659908
    Unten links KachelX 56371 KachelY + 1 86997 -0.43934169 -0.88421259 -25.172425 -50.661650
    Unten rechts KachelX + 1 56372 KachelY + 1 86997 -0.43929375 -0.88421259 -25.169678 -50.661650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88418220--0.88421259) × R
    3.03899999999357e-05 × 6371000     		dl = 193.614689999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88418220--0.88421259) × R
    3.03899999999357e-05 × 6371000     		dr = 193.614689999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43934169--0.43929375) × cos(-0.88418220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633922197323346 × 6371000     		do = 193.616156220006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43934169--0.43929375) × cos(-0.88421259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63389869350113 × 6371000     		du = 193.608977547713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88418220)-sin(-0.88421259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633922197323346-0.63389869350113)×R²
    abs(-0.43929375--0.43934169)×2.35038222150541e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35038222150541e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35038222150541e-05×40589641000000     		ar = 37486.2371202673m²