Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56370 / 87182
↖ ↑ ↗
← S 50.982641°
W 25.175171°		 ← 192.24 m → S 50.982641°
W 25.172425°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
S 50.984370°
W 25.175171°		 ← 192.24 m →
36 963 m²		 S 50.984370°
W 25.172425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430072784423828 y=0.665149688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430072784423828 × 217)
    floor (0.430072784423828 × 131072)
    floor (56370.5)     		tx = 56370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665149688720703 × 217)
    floor (0.665149688720703 × 131072)
    floor (87182.5)     		ty = 87182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56370 / 87182 ti = "17/56370/87182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56370/87182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56370 ÷ 217
    56370 ÷ 131072     		x = 0.430068969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87182 ÷ 217
    87182 ÷ 131072     		y = 0.665145874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430068969726562 × 2 - 1) × π
    -0.139862060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43938962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665145874023438 × 2 - 1) × π
    -0.330291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03764212917574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43938962} λ = -0.43938962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03764212917574))-π/2
    2×atan(0.35428906573909)-π/2
    2×0.340490691669194-π/2
    0.680981383338387-1.57079632675     		φ = -0.88981494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43938962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.175171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88981494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.982641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56370 KachelY 87182 -0.43938962 -0.88981494 -25.175171 -50.982641
    Oben rechts KachelX + 1 56371 KachelY 87182 -0.43934169 -0.88981494 -25.172425 -50.982641
    Unten links KachelX 56370 KachelY + 1 87183 -0.43938962 -0.88984512 -25.175171 -50.984370
    Unten rechts KachelX + 1 56371 KachelY + 1 87183 -0.43934169 -0.88984512 -25.172425 -50.984370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88981494--0.88984512) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88981494--0.88984512) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43938962--0.43934169) × cos(-0.88981494) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.629555820692672 × 6371000     		do = 192.242443404925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43938962--0.43934169) × cos(-0.88984512) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.629532371896363 × 6371000     		du = 192.235283032883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88981494)-sin(-0.88984512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629555820692672-0.629532371896363)×R²
    abs(-0.43934169--0.43938962)×2.34487963092223e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34487963092223e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34487963092223e-05×40589641000000     		ar = 36963.0696132239m²