Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5637 / 11921
↖ ↑ ↗
← S 63.084814°
W 56.140137°		 ← 1 106 m → S 63.084814°
W 56.118164°		 →
↑
1 105.81 m
↓
↑
1 105.81 m
↓
S 63.094759°
W 56.140137°		 ← 1 105.62 m →
1 222 823 m²		 S 63.094759°
W 56.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344085693359375 y=0.727630615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344085693359375 × 214)
    floor (0.344085693359375 × 16384)
    floor (5637.5)     		tx = 5637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727630615234375 × 214)
    floor (0.727630615234375 × 16384)
    floor (11921.5)     		ty = 11921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5637 / 11921 ti = "14/5637/11921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5637/11921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5637 ÷ 214
    5637 ÷ 16384     		x = 0.34405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11921 ÷ 214
    11921 ÷ 16384     		y = 0.72760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97983023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.4552001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43005358946552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97983023} λ = -0.97983023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43005358946552))-π/2
    2×atan(0.23929609815014)-π/2
    2×0.234879309198483-π/2
    0.469758618396966-1.57079632675     		φ = -1.10103771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97983023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10103771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.084814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5637 KachelY 11921 -0.97983023 -1.10103771 -56.140137 -63.084814
    Oben rechts KachelX + 1 5638 KachelY 11921 -0.97944673 -1.10103771 -56.118164 -63.084814
    Unten links KachelX 5637 KachelY + 1 11922 -0.97983023 -1.10121128 -56.140137 -63.094759
    Unten rechts KachelX + 1 5638 KachelY + 1 11922 -0.97944673 -1.10121128 -56.118164 -63.094759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10103771--1.10121128) × R
    0.000173570000000067 × 6371000     		dl = 1105.81447000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10103771--1.10121128) × R
    0.000173570000000067 × 6371000     		dr = 1105.81447000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97983023--0.97944673) × cos(-1.10103771) × R
    0.000383499999999981 × 0.452671062576283 × 6371000     		do = 1106.00147476473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97983023--0.97944673) × cos(-1.10121128) × R
    0.000383499999999981 × 0.452516287280555 × 6371000     		du = 1105.62331561235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10103771)-sin(-1.10121128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452671062576283-0.452516287280555)×R²
    abs(-0.97944673--0.97983023)×0.000154775295727716×R²
    0.000383499999999981×0.000154775295727716×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154775295727716×40589641000000     		ar = 1222823.35077447m²