Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5637 / 11783
↖ ↑ ↗
← S 61.679450°
W 56.140137°		 ← 1 159.10 m → S 61.679450°
W 56.118164°		 →
↑
1 158.88 m
↓
↑
1 158.88 m
↓
S 61.689872°
W 56.140137°		 ← 1 158.71 m →
1 343 038 m²		 S 61.689872°
W 56.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344085693359375 y=0.719207763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344085693359375 × 214)
    floor (0.344085693359375 × 16384)
    floor (5637.5)     		tx = 5637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719207763671875 × 214)
    floor (0.719207763671875 × 16384)
    floor (11783.5)     		ty = 11783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5637 / 11783 ti = "14/5637/11783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5637/11783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5637 ÷ 214
    5637 ÷ 16384     		x = 0.34405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11783 ÷ 214
    11783 ÷ 16384     		y = 0.71917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97983023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.4383544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37713125228497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97983023} λ = -0.97983023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37713125228497))-π/2
    2×atan(0.252301304659326)-π/2
    2×0.247143421359804-π/2
    0.494286842719608-1.57079632675     		φ = -1.07650948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97983023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07650948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.679450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5637 KachelY 11783 -0.97983023 -1.07650948 -56.140137 -61.679450
    Oben rechts KachelX + 1 5638 KachelY 11783 -0.97944673 -1.07650948 -56.118164 -61.679450
    Unten links KachelX 5637 KachelY + 1 11784 -0.97983023 -1.07669138 -56.140137 -61.689872
    Unten rechts KachelX + 1 5638 KachelY + 1 11784 -0.97944673 -1.07669138 -56.118164 -61.689872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07650948--1.07669138) × R
    0.000181900000000068 × 6371000     		dl = 1158.88490000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07650948--1.07669138) × R
    0.000181900000000068 × 6371000     		dr = 1158.88490000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97983023--0.97944673) × cos(-1.07650948) × R
    0.000383499999999981 × 0.474403978020761 × 6371000     		do = 1159.10103981254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97983023--0.97944673) × cos(-1.07669138) × R
    0.000383499999999981 × 0.474243842283262 × 6371000     		du = 1158.70978360803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07650948)-sin(-1.07669138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474403978020761-0.474243842283262)×R²
    abs(-0.97944673--0.97983023)×0.000160135737499734×R²
    0.000383499999999981×0.000160135737499734×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160135737499734×40589641000000     		ar = 1343037.98586298m²