Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56368 / 87179
↖ ↑ ↗
← S 50.977453°
W 25.180664°		 ← 192.30 m → S 50.977453°
W 25.177918°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
S 50.979182°
W 25.180664°		 ← 192.30 m →
36 975 m²		 S 50.979182°
W 25.177918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430057525634766 y=0.665126800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430057525634766 × 217)
    floor (0.430057525634766 × 131072)
    floor (56368.5)     		tx = 56368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665126800537109 × 217)
    floor (0.665126800537109 × 131072)
    floor (87179.5)     		ty = 87179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56368 / 87179 ti = "17/56368/87179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56368/87179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56368 ÷ 217
    56368 ÷ 131072     		x = 0.4300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87179 ÷ 217
    87179 ÷ 131072     		y = 0.665122985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665122985839844 × 2 - 1) × π
    -0.330245971679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.03749831847688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43948550} λ = -0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03749831847688))-π/2
    2×atan(0.354340019961025)-π/2
    2×0.340535962629328-π/2
    0.681071925258656-1.57079632675     		φ = -0.88972440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88972440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.977453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56368 KachelY 87179 -0.43948550 -0.88972440 -25.180664 -50.977453
    Oben rechts KachelX + 1 56369 KachelY 87179 -0.43943756 -0.88972440 -25.177918 -50.977453
    Unten links KachelX 56368 KachelY + 1 87180 -0.43948550 -0.88975458 -25.180664 -50.979182
    Unten rechts KachelX + 1 56369 KachelY + 1 87180 -0.43943756 -0.88975458 -25.177918 -50.979182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88972440--0.88975458) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88972440--0.88975458) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43948550--0.43943756) × cos(-0.88972440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629626163640996 × 6371000     		do = 192.304036953286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43948550--0.43943756) × cos(-0.88975458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62960271656501 × 6371000     		du = 192.296875612752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88972440)-sin(-0.88975458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629626163640996-0.62960271656501)×R²
    abs(-0.43943756--0.43948550)×2.3447075985672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3447075985672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3447075985672e-05×40589641000000     		ar = 36974.9125294557m²