Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56367 / 87181
↖ ↑ ↗
← S 50.980911°
W 25.183410°		 ← 192.25 m → S 50.980911°
W 25.180664°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
S 50.982641°
W 25.183410°		 ← 192.24 m →
36 964 m²		 S 50.982641°
W 25.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430049896240234 y=0.665142059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430049896240234 × 217)
    floor (0.430049896240234 × 131072)
    floor (56367.5)     		tx = 56367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665142059326172 × 217)
    floor (0.665142059326172 × 131072)
    floor (87181.5)     		ty = 87181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56367 / 87181 ti = "17/56367/87181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56367/87181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56367 ÷ 217
    56367 ÷ 131072     		x = 0.430046081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87181 ÷ 217
    87181 ÷ 131072     		y = 0.665138244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430046081542969 × 2 - 1) × π
    -0.139907836914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.43953343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665138244628906 × 2 - 1) × π
    -0.330276489257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.03759419227612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43953343} λ = -0.43953343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03759419227612))-π/2
    2×atan(0.354306049665546)-π/2
    2×0.340505781427224-π/2
    0.681011562854448-1.57079632675     		φ = -0.88978476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43953343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.183410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88978476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.980911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56367 KachelY 87181 -0.43953343 -0.88978476 -25.183410 -50.980911
    Oben rechts KachelX + 1 56368 KachelY 87181 -0.43948550 -0.88978476 -25.180664 -50.980911
    Unten links KachelX 56367 KachelY + 1 87182 -0.43953343 -0.88981494 -25.183410 -50.982641
    Unten rechts KachelX + 1 56368 KachelY + 1 87182 -0.43948550 -0.88981494 -25.180664 -50.982641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88978476--0.88981494) × R
    3.01800000001018e-05 × 6371000     		dl = 192.276780000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88978476--0.88981494) × R
    3.01800000001018e-05 × 6371000     		dr = 192.276780000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43953343--0.43948550) × cos(-0.88978476) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629579268915562 × 6371000     		do = 192.24960360209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43953343--0.43948550) × cos(-0.88981494) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629555820692672 × 6371000     		du = 192.242443405148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88978476)-sin(-0.88981494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629579268915562-0.629555820692672)×R²
    abs(-0.43948550--0.43953343)×2.34482228894661e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34482228894661e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34482228894661e-05×40589641000000     		ar = 36964.4463701625m²