Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56367 / 86983
↖ ↑ ↗
← S 50.637269°
W 25.183410°		 ← 193.67 m → S 50.637269°
W 25.180664°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 50.639010°
W 25.183410°		 ← 193.66 m →
37 509 m²		 S 50.639010°
W 25.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430049896240234 y=0.663631439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430049896240234 × 217)
    floor (0.430049896240234 × 131072)
    floor (56367.5)     		tx = 56367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663631439208984 × 217)
    floor (0.663631439208984 × 131072)
    floor (86983.5)     		ty = 86983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56367 / 86983 ti = "17/56367/86983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56367/86983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56367 ÷ 217
    56367 ÷ 131072     		x = 0.430046081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86983 ÷ 217
    86983 ÷ 131072     		y = 0.663627624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430046081542969 × 2 - 1) × π
    -0.139907836914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.43953343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663627624511719 × 2 - 1) × π
    -0.327255249023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.02810268615134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43953343} λ = -0.43953343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02810268615134))-π/2
    2×atan(0.357684957802884)-π/2
    2×0.343504634901454-π/2
    0.687009269802908-1.57079632675     		φ = -0.88378706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43953343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.183410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88378706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.637269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56367 KachelY 86983 -0.43953343 -0.88378706 -25.183410 -50.637269
    Oben rechts KachelX + 1 56368 KachelY 86983 -0.43948550 -0.88378706 -25.180664 -50.637269
    Unten links KachelX 56367 KachelY + 1 86984 -0.43953343 -0.88381746 -25.183410 -50.639010
    Unten rechts KachelX + 1 56368 KachelY + 1 86984 -0.43948550 -0.88381746 -25.180664 -50.639010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88378706--0.88381746) × R
    3.0400000000097e-05 × 6371000     		dl = 193.678400000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88378706--0.88381746) × R
    3.0400000000097e-05 × 6371000     		dr = 193.678400000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43953343--0.43948550) × cos(-0.88378706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634227747847605 × 6371000     		do = 193.669072565191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43953343--0.43948550) × cos(-0.88381746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634204243907759 × 6371000     		du = 193.661895354407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88378706)-sin(-0.88381746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634227747847605-0.634204243907759)×R²
    abs(-0.43948550--0.43953343)×2.35039398461812e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35039398461812e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35039398461812e-05×40589641000000     		ar = 37508.8210714551m²