Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56366 / 87188
↖ ↑ ↗
← S 50.993015°
W 25.186157°		 ← 192.24 m → S 50.993015°
W 25.183410°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
S 50.994743°
W 25.186157°		 ← 192.23 m →
36 950 m²		 S 50.994743°
W 25.183410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430042266845703 y=0.665195465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430042266845703 × 217)
    floor (0.430042266845703 × 131072)
    floor (56366.5)     		tx = 56366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665195465087891 × 217)
    floor (0.665195465087891 × 131072)
    floor (87188.5)     		ty = 87188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56366 / 87188 ti = "17/56366/87188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56366/87188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56366 ÷ 217
    56366 ÷ 131072     		x = 0.430038452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87188 ÷ 217
    87188 ÷ 131072     		y = 0.665191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430038452148438 × 2 - 1) × π
    -0.139923095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43958137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.33038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03792975057346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43958137} λ = -0.43958137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03792975057346))-π/2
    2×atan(0.35418717927587)-π/2
    2×0.340400164922865-π/2
    0.680800329845729-1.57079632675     		φ = -0.88999600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43958137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.186157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88999600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.993015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56366 KachelY 87188 -0.43958137 -0.88999600 -25.186157 -50.993015
    Oben rechts KachelX + 1 56367 KachelY 87188 -0.43953343 -0.88999600 -25.183410 -50.993015
    Unten links KachelX 56366 KachelY + 1 87189 -0.43958137 -0.89002617 -25.186157 -50.994743
    Unten rechts KachelX + 1 56367 KachelY + 1 87189 -0.43953343 -0.89002617 -25.183410 -50.994743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88999600--0.89002617) × R
    3.01699999999405e-05 × 6371000     		dl = 192.213069999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88999600--0.89002617) × R
    3.01699999999405e-05 × 6371000     		dr = 192.213069999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43958137--0.43953343) × cos(-0.88999600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629415134855652 × 6371000     		do = 192.239583330584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43958137--0.43953343) × cos(-0.89002617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629391690390534 × 6371000     		du = 192.232422787476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88999600)-sin(-0.89002617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629415134855652-0.629391690390534)×R²
    abs(-0.43953343--0.43958137)×2.34444651175947e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34444651175947e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34444651175947e-05×40589641000000     		ar = 36950.2723151728m²