Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56365 / 87186
↖ ↑ ↗
← S 50.989557°
W 25.188904°		 ← 192.25 m → S 50.989557°
W 25.186157°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
S 50.991285°
W 25.188904°		 ← 192.25 m →
36 953 m²		 S 50.991285°
W 25.186157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430034637451172 y=0.665180206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430034637451172 × 217)
    floor (0.430034637451172 × 131072)
    floor (56365.5)     		tx = 56365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665180206298828 × 217)
    floor (0.665180206298828 × 131072)
    floor (87186.5)     		ty = 87186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56365 / 87186 ti = "17/56365/87186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56365/87186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56365 ÷ 217
    56365 ÷ 131072     		x = 0.430030822753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87186 ÷ 217
    87186 ÷ 131072     		y = 0.665176391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430030822753906 × 2 - 1) × π
    -0.139938354492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43962931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665176391601562 × 2 - 1) × π
    -0.330352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03783387677422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43962931} λ = -0.43962931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03783387677422))-π/2
    2×atan(0.354221138174248)-π/2
    2×0.34043033825705-π/2
    0.680860676514101-1.57079632675     		φ = -0.88993565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43962931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.188904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88993565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.989557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56365 KachelY 87186 -0.43962931 -0.88993565 -25.188904 -50.989557
    Oben rechts KachelX + 1 56366 KachelY 87186 -0.43958137 -0.88993565 -25.186157 -50.989557
    Unten links KachelX 56365 KachelY + 1 87187 -0.43962931 -0.88996582 -25.188904 -50.991285
    Unten rechts KachelX + 1 56366 KachelY + 1 87187 -0.43958137 -0.88996582 -25.186157 -50.991285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88993565--0.88996582) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dl = 192.213070000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88993565--0.88996582) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dr = 192.213070000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43962931--0.43958137) × cos(-0.88993565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629462029837442 × 6371000     		do = 192.253906264877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43962931--0.43958137) × cos(-0.88996582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62943858651836 × 6371000     		du = 192.246746071798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88993565)-sin(-0.88996582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629462029837442-0.62943858651836)×R²
    abs(-0.43958137--0.43962931)×2.34433190826611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34433190826611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34433190826611e-05×40589641000000     		ar = 36953.0254042477m²