Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56365 / 13917
↖ ↑ ↗
← N 80.373085°
W 25.188904°		 ← 51.08 m → N 80.373085°
W 25.186157°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.372625°
W 25.188904°		 ← 51.08 m →
2 610 m²		 N 80.372625°
W 25.186157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430034637451172 y=0.106182098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430034637451172 × 217)
    floor (0.430034637451172 × 131072)
    floor (56365.5)     		tx = 56365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106182098388672 × 217)
    floor (0.106182098388672 × 131072)
    floor (13917.5)     		ty = 13917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56365 / 13917 ti = "17/56365/13917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56365/13917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56365 ÷ 217
    56365 ÷ 131072     		x = 0.430030822753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13917 ÷ 217
    13917 ÷ 131072     		y = 0.106178283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430030822753906 × 2 - 1) × π
    -0.139938354492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43962931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106178283691406 × 2 - 1) × π
    0.787643432617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.47445482148768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43962931} λ = -0.43962931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47445482148768))-π/2
    2×atan(11.875231227109)-π/2
    2×1.48678564313669-π/2
    2.97357128627337-1.57079632675     		φ = 1.40277496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43962931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.188904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40277496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.373085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56365 KachelY 13917 -0.43962931 1.40277496 -25.188904 80.373085
    Oben rechts KachelX + 1 56366 KachelY 13917 -0.43958137 1.40277496 -25.186157 80.373085
    Unten links KachelX 56365 KachelY + 1 13918 -0.43962931 1.40276694 -25.188904 80.372625
    Unten rechts KachelX + 1 56366 KachelY + 1 13918 -0.43958137 1.40276694 -25.186157 80.372625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40277496-1.40276694) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40277496-1.40276694) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43962931--0.43958137) × cos(1.40277496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167231908419748 × 6371000     		do = 51.0769293806803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43962931--0.43958137) × cos(1.40276694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167239815473419 × 6371000     		du = 51.079344398399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40277496)-sin(1.40276694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167231908419748-0.167239815473419)×R²
    abs(-0.43958137--0.43962931)×7.90705367118005e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90705367118005e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90705367118005e-06×40589641000000     		ar = 2609.85885711254m²