Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56364 / 86964
↖ ↑ ↗
← S 50.604160°
W 25.191650°		 ← 193.81 m → S 50.604160°
W 25.188904°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
S 50.605903°
W 25.191650°		 ← 193.80 m →
37 560 m²		 S 50.605903°
W 25.188904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430027008056641 y=0.663486480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430027008056641 × 217)
    floor (0.430027008056641 × 131072)
    floor (56364.5)     		tx = 56364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663486480712891 × 217)
    floor (0.663486480712891 × 131072)
    floor (86964.5)     		ty = 86964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56364 / 86964 ti = "17/56364/86964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56364/86964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56364 ÷ 217
    56364 ÷ 131072     		x = 0.430023193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86964 ÷ 217
    86964 ÷ 131072     		y = 0.663482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.13995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43967724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.32696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02719188505856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43967724} λ = -0.43967724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02719188505856))-π/2
    2×atan(0.358010886058697)-π/2
    2×0.343793564266905-π/2
    0.687587128533811-1.57079632675     		φ = -0.88320920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43967724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88320920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.604160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56364 KachelY 86964 -0.43967724 -0.88320920 -25.191650 -50.604160
    Oben rechts KachelX + 1 56365 KachelY 86964 -0.43962931 -0.88320920 -25.188904 -50.604160
    Unten links KachelX 56364 KachelY + 1 86965 -0.43967724 -0.88323962 -25.191650 -50.605903
    Unten rechts KachelX + 1 56365 KachelY + 1 86965 -0.43962931 -0.88323962 -25.188904 -50.605903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88320920--0.88323962) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88320920--0.88323962) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43967724--0.43962931) × cos(-0.88320920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63467441223835 × 6371000     		do = 193.805466910278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43967724--0.43962931) × cos(-0.88323962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634650903987686 × 6371000     		du = 193.798288383133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88320920)-sin(-0.88323962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63467441223835-0.634650903987686)×R²
    abs(-0.43962931--0.43967724)×2.35082506646611e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35082506646611e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35082506646611e-05×40589641000000     		ar = 37559.9318176855m²