Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56360 / 87352
↖ ↑ ↗
← S 51.275663°
W 25.202637°		 ← 191.07 m → S 51.275663°
W 25.199890°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
S 51.277380°
W 25.202637°		 ← 191.06 m →
36 493 m²		 S 51.277380°
W 25.199890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429996490478516 y=0.666446685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429996490478516 × 217)
    floor (0.429996490478516 × 131072)
    floor (56360.5)     		tx = 56360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666446685791016 × 217)
    floor (0.666446685791016 × 131072)
    floor (87352.5)     		ty = 87352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56360 / 87352 ti = "17/56360/87352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56360/87352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56360 ÷ 217
    56360 ÷ 131072     		x = 0.42999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87352 ÷ 217
    87352 ÷ 131072     		y = 0.66644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.1400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43986899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.3328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04579140211114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43986899} λ = -0.43986899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04579140211114))-π/2
    2×atan(0.351413599836026)-π/2
    2×0.33793359559818-π/2
    0.675867191196359-1.57079632675     		φ = -0.89492914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43986899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89492914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.275663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56360 KachelY 87352 -0.43986899 -0.89492914 -25.202637 -51.275663
    Oben rechts KachelX + 1 56361 KachelY 87352 -0.43982105 -0.89492914 -25.199890 -51.275663
    Unten links KachelX 56360 KachelY + 1 87353 -0.43986899 -0.89495912 -25.202637 -51.277380
    Unten rechts KachelX + 1 56361 KachelY + 1 87353 -0.43982105 -0.89495912 -25.199890 -51.277380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89492914--0.89495912) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89492914--0.89495912) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43986899--0.43982105) × cos(-0.89492914) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625574100436133 × 6371000     		do = 191.066432550636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43986899--0.43982105) × cos(-0.89495912) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62555071081565 × 6371000     		du = 191.059288758492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89492914)-sin(-0.89495912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625574100436133-0.62555071081565)×R²
    abs(-0.43982105--0.43986899)×2.33896204829831e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33896204829831e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33896204829831e-05×40589641000000     		ar = 36493.4993298486m²