Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5636 / 11922
↖ ↑ ↗
← S 63.094759°
W 56.162109°		 ← 1 105.59 m → S 63.094759°
W 56.140137°		 →
↑
1 105.37 m
↓
↑
1 105.37 m
↓
S 63.104700°
W 56.162109°		 ← 1 105.22 m →
1 221 880 m²		 S 63.104700°
W 56.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344024658203125 y=0.727691650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344024658203125 × 214)
    floor (0.344024658203125 × 16384)
    floor (5636.5)     		tx = 5636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727691650390625 × 214)
    floor (0.727691650390625 × 16384)
    floor (11922.5)     		ty = 11922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5636 / 11922 ti = "14/5636/11922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5636/11922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5636 ÷ 214
    5636 ÷ 16384     		x = 0.343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11922 ÷ 214
    11922 ÷ 16384     		y = 0.7276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98021372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98021372} λ = -0.98021372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43043708466248))-π/2
    2×atan(0.239204346840066)-π/2
    2×0.234792525448368-π/2
    0.469585050896737-1.57079632675     		φ = -1.10121128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98021372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10121128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.094759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5636 KachelY 11922 -0.98021372 -1.10121128 -56.162109 -63.094759
    Oben rechts KachelX + 1 5637 KachelY 11922 -0.97983023 -1.10121128 -56.140137 -63.094759
    Unten links KachelX 5636 KachelY + 1 11923 -0.98021372 -1.10138478 -56.162109 -63.104700
    Unten rechts KachelX + 1 5637 KachelY + 1 11923 -0.97983023 -1.10138478 -56.140137 -63.104700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10121128--1.10138478) × R
    0.000173500000000049 × 6371000     		dl = 1105.36850000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10121128--1.10138478) × R
    0.000173500000000049 × 6371000     		dr = 1105.36850000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98021372--0.97983023) × cos(-1.10121128) × R
    0.000383489999999931 × 0.452516287280555 × 6371000     		do = 1105.59448579954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98021372--0.97983023) × cos(-1.10138478) × R
    0.000383489999999931 × 0.452361560780501 × 6371000     		du = 1105.2164557262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10121128)-sin(-1.10138478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452516287280555-0.452361560780501)×R²
    abs(-0.97983023--0.98021372)×0.00015472650005427×R²
    0.000383489999999931×0.00015472650005427×6371000²
    0.000383489999999931×0.00015472650005427×40589641000000     		ar = 1221880.39017448m²