Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56359 / 86914
↖ ↑ ↗
← S 50.516919°
W 25.205383°		 ← 194.21 m → S 50.516919°
W 25.202637°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
S 50.518666°
W 25.205383°		 ← 194.20 m →
37 712 m²		 S 50.518666°
W 25.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429988861083984 y=0.663105010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429988861083984 × 217)
    floor (0.429988861083984 × 131072)
    floor (56359.5)     		tx = 56359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663105010986328 × 217)
    floor (0.663105010986328 × 131072)
    floor (86914.5)     		ty = 86914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56359 / 86914 ti = "17/56359/86914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56359/86914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56359 ÷ 217
    56359 ÷ 131072     		x = 0.429985046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86914 ÷ 217
    86914 ÷ 131072     		y = 0.663101196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429985046386719 × 2 - 1) × π
    -0.140029907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43991693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663101196289062 × 2 - 1) × π
    -0.326202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02479504007756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43991693} λ = -0.43991693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02479504007756))-π/2
    2×atan(0.358870011838451)-π/2
    2×0.344554876911081-π/2
    0.689109753822163-1.57079632675     		φ = -0.88168657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43991693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.205383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88168657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.516919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56359 KachelY 86914 -0.43991693 -0.88168657 -25.205383 -50.516919
    Oben rechts KachelX + 1 56360 KachelY 86914 -0.43986899 -0.88168657 -25.202637 -50.516919
    Unten links KachelX 56359 KachelY + 1 86915 -0.43991693 -0.88171705 -25.205383 -50.518666
    Unten rechts KachelX + 1 56360 KachelY + 1 86915 -0.43986899 -0.88171705 -25.202637 -50.518666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88168657--0.88171705) × R
    3.04800000000549e-05 × 6371000     		dl = 194.18808000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88168657--0.88171705) × R
    3.04800000000549e-05 × 6371000     		dr = 194.18808000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43991693--0.43986899) × cos(-0.88168657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635850333550012 × 6371000     		do = 194.205058653632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43991693--0.43986899) × cos(-0.88171705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635826808413244 × 6371000     		du = 194.197873471326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88168657)-sin(-0.88171705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635850333550012-0.635826808413244)×R²
    abs(-0.43986899--0.43991693)×2.35251367681766e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35251367681766e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35251367681766e-05×40589641000000     		ar = 37711.6098309416m²