Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56358 / 86989
↖ ↑ ↗
← S 50.647719°
W 25.208130°		 ← 193.63 m → S 50.647719°
W 25.205383°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 50.649460°
W 25.208130°		 ← 193.62 m →
37 500 m²		 S 50.649460°
W 25.205383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429981231689453 y=0.663677215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429981231689453 × 217)
    floor (0.429981231689453 × 131072)
    floor (56358.5)     		tx = 56358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663677215576172 × 217)
    floor (0.663677215576172 × 131072)
    floor (86989.5)     		ty = 86989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56358 / 86989 ti = "17/56358/86989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56358/86989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56358 ÷ 217
    56358 ÷ 131072     		x = 0.429977416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86989 ÷ 217
    86989 ÷ 131072     		y = 0.663673400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429977416992188 × 2 - 1) × π
    -0.140045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43996486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663673400878906 × 2 - 1) × π
    -0.327346801757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.02839030754906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43996486} λ = -0.43996486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02839030754906))-π/2
    2×atan(0.357582094748894)-π/2
    2×0.343413436306418-π/2
    0.686826872612836-1.57079632675     		φ = -0.88396945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43996486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.208130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88396945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.647719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56358 KachelY 86989 -0.43996486 -0.88396945 -25.208130 -50.647719
    Oben rechts KachelX + 1 56359 KachelY 86989 -0.43991693 -0.88396945 -25.205383 -50.647719
    Unten links KachelX 56358 KachelY + 1 86990 -0.43996486 -0.88399985 -25.208130 -50.649460
    Unten rechts KachelX + 1 56359 KachelY + 1 86990 -0.43991693 -0.88399985 -25.205383 -50.649460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88396945--0.88399985) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88396945--0.88399985) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43996486--0.43991693) × cos(-0.88396945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634086723149989 × 6371000     		do = 193.626008977247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43996486--0.43991693) × cos(-0.88399985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634063215694025 × 6371000     		du = 193.618830692774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88396945)-sin(-0.88399985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634086723149989-0.634063215694025)×R²
    abs(-0.43991693--0.43996486)×2.35074559647996e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35074559647996e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35074559647996e-05×40589641000000     		ar = 37500.4804806575m²