Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56357 / 86991
↖ ↑ ↗
← S 50.651202°
W 25.210876°		 ← 193.65 m → S 50.651202°
W 25.208130°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 50.652944°
W 25.210876°		 ← 193.64 m →
37 506 m²		 S 50.652944°
W 25.208130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429973602294922 y=0.663692474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429973602294922 × 217)
    floor (0.429973602294922 × 131072)
    floor (56357.5)     		tx = 56357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663692474365234 × 217)
    floor (0.663692474365234 × 131072)
    floor (86991.5)     		ty = 86991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56357 / 86991 ti = "17/56357/86991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56357/86991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56357 ÷ 217
    56357 ÷ 131072     		x = 0.429969787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86991 ÷ 217
    86991 ÷ 131072     		y = 0.663688659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429969787597656 × 2 - 1) × π
    -0.140060424804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44001280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663688659667969 × 2 - 1) × π
    -0.327377319335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.0284861813483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44001280} λ = -0.44001280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0284861813483))-π/2
    2×atan(0.357547813638287)-π/2
    2×0.343383041281684-π/2
    0.686766082563367-1.57079632675     		φ = -0.88403024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44001280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.210876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88403024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.651202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56357 KachelY 86991 -0.44001280 -0.88403024 -25.210876 -50.651202
    Oben rechts KachelX + 1 56358 KachelY 86991 -0.43996486 -0.88403024 -25.208130 -50.651202
    Unten links KachelX 56357 KachelY + 1 86992 -0.44001280 -0.88406064 -25.210876 -50.652944
    Unten rechts KachelX + 1 56358 KachelY + 1 86992 -0.43996486 -0.88406064 -25.208130 -50.652944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88403024--0.88406064) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88403024--0.88406064) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44001280--0.43996486) × cos(-0.88403024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634039715385089 × 6371000     		do = 193.652049260753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44001280--0.43996486) × cos(-0.88406064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634016206757387 × 6371000     		du = 193.644869120741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88403024)-sin(-0.88406064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634039715385089-0.634016206757387)×R²
    abs(-0.43996486--0.44001280)×2.35086277019514e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35086277019514e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35086277019514e-05×40589641000000     		ar = 37505.5237413911m²