Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56355 / 86935
↖ ↑ ↗
← S 50.553580°
W 25.216370°		 ← 194.05 m → S 50.553580°
W 25.213623°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
S 50.555325°
W 25.216370°		 ← 194.05 m →
37 658 m²		 S 50.555325°
W 25.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429958343505859 y=0.663265228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429958343505859 × 217)
    floor (0.429958343505859 × 131072)
    floor (56355.5)     		tx = 56355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663265228271484 × 217)
    floor (0.663265228271484 × 131072)
    floor (86935.5)     		ty = 86935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56355 / 86935 ti = "17/56355/86935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56355/86935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56355 ÷ 217
    56355 ÷ 131072     		x = 0.429954528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86935 ÷ 217
    86935 ÷ 131072     		y = 0.663261413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429954528808594 × 2 - 1) × π
    -0.140090942382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44010868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663261413574219 × 2 - 1) × π
    -0.326522827148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.02580171496958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44010868} λ = -0.44010868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02580171496958))-π/2
    2×atan(0.358508928185451)-π/2
    2×0.344234953951573-π/2
    0.688469907903147-1.57079632675     		φ = -0.88232642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44010868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.216370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88232642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.553580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56355 KachelY 86935 -0.44010868 -0.88232642 -25.216370 -50.553580
    Oben rechts KachelX + 1 56356 KachelY 86935 -0.44006074 -0.88232642 -25.213623 -50.553580
    Unten links KachelX 56355 KachelY + 1 86936 -0.44010868 -0.88235688 -25.216370 -50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 56356 KachelY + 1 86936 -0.44006074 -0.88235688 -25.213623 -50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88232642--0.88235688) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dl = 194.060660000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88232642--0.88235688) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dr = 194.060660000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44010868--0.44006074) × cos(-0.88232642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635356359269846 × 6371000     		do = 194.054186193571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44010868--0.44006074) × cos(-0.88235688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 194.047001942527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88232642)-sin(-0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635356359269846-0.63533283718214)×R²
    abs(-0.44006074--0.44010868)×2.35220877060627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35220877060627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35220877060627e-05×40589641000000     		ar = 37657.5863611536m²