Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56355 / 17442
↖ ↑ ↗
← N 78.611581°
W 25.216370°		 ← 60.31 m → N 78.611581°
W 25.213623°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.611038°
W 25.216370°		 ← 60.31 m →
3 639 m²		 N 78.611038°
W 25.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429958343505859 y=0.133075714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429958343505859 × 217)
    floor (0.429958343505859 × 131072)
    floor (56355.5)     		tx = 56355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133075714111328 × 217)
    floor (0.133075714111328 × 131072)
    floor (17442.5)     		ty = 17442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56355 / 17442 ti = "17/56355/17442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56355/17442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56355 ÷ 217
    56355 ÷ 131072     		x = 0.429954528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17442 ÷ 217
    17442 ÷ 131072     		y = 0.133071899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429954528808594 × 2 - 1) × π
    -0.140090942382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44010868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133071899414062 × 2 - 1) × π
    0.733856201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30547725032698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44010868} λ = -0.44010868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30547725032698))-π/2
    2×atan(10.0289634365482)-π/2
    2×1.47141362099453-π/2
    2.94282724198906-1.57079632675     		φ = 1.37203092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44010868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.216370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37203092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.611581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56355 KachelY 17442 -0.44010868 1.37203092 -25.216370 78.611581
    Oben rechts KachelX + 1 56356 KachelY 17442 -0.44006074 1.37203092 -25.213623 78.611581
    Unten links KachelX 56355 KachelY + 1 17443 -0.44010868 1.37202145 -25.216370 78.611038
    Unten rechts KachelX + 1 56356 KachelY + 1 17443 -0.44006074 1.37202145 -25.213623 78.611038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37203092-1.37202145) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dl = 60.3333699997191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37203092-1.37202145) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dr = 60.3333699997191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44010868--0.44006074) × cos(1.37203092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197459196156987 × 6371000     		do = 60.3091211060134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44010868--0.44006074) × cos(1.37202145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197468479694313 × 6371000     		du = 60.311956537271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37203092)-sin(1.37202145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197459196156987-0.197468479694313)×R²
    abs(-0.44006074--0.44010868)×9.28353732576603e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.28353732576603e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.28353732576603e-06×40589641000000     		ar = 3638.7380536024m²