Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56354 / 86970
↖ ↑ ↗
← S 50.614617°
W 25.219116°		 ← 193.76 m → S 50.614617°
W 25.216370°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
S 50.616360°
W 25.219116°		 ← 193.76 m →
37 552 m²		 S 50.616360°
W 25.216370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429950714111328 y=0.663532257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429950714111328 × 217)
    floor (0.429950714111328 × 131072)
    floor (56354.5)     		tx = 56354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663532257080078 × 217)
    floor (0.663532257080078 × 131072)
    floor (86970.5)     		ty = 86970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56354 / 86970 ti = "17/56354/86970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56354/86970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56354 ÷ 217
    56354 ÷ 131072     		x = 0.429946899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86970 ÷ 217
    86970 ÷ 131072     		y = 0.663528442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429946899414062 × 2 - 1) × π
    -0.140106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44015661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663528442382812 × 2 - 1) × π
    -0.327056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02747950645628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44015661} λ = -0.44015661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02747950645628))-π/2
    2×atan(0.357907929274246)-π/2
    2×0.343702301439223-π/2
    0.687404602878447-1.57079632675     		φ = -0.88339172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44015661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.219116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88339172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.614617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56354 KachelY 86970 -0.44015661 -0.88339172 -25.219116 -50.614617
    Oben rechts KachelX + 1 56355 KachelY 86970 -0.44010868 -0.88339172 -25.216370 -50.614617
    Unten links KachelX 56354 KachelY + 1 86971 -0.44015661 -0.88342214 -25.219116 -50.616360
    Unten rechts KachelX + 1 56355 KachelY + 1 86971 -0.44010868 -0.88342214 -25.216370 -50.616360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88339172--0.88342214) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88339172--0.88342214) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44015661--0.44010868) × cos(-0.88339172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634533353925433 × 6371000     		do = 193.762393057497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44015661--0.44010868) × cos(-0.88342214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634509842151349 × 6371000     		du = 193.755213454434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88339172)-sin(-0.88342214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634533353925433-0.634509842151349)×R²
    abs(-0.44010868--0.44015661)×2.35117740841062e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35117740841062e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35117740841062e-05×40589641000000     		ar = 37551.5837501914m²