Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56354 / 13939
↖ ↑ ↗
← N 80.362974°
W 25.219116°		 ← 51.12 m → N 80.362974°
W 25.216370°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.362515°
W 25.219116°		 ← 51.12 m →
2 612 m²		 N 80.362515°
W 25.216370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429950714111328 y=0.106349945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429950714111328 × 217)
    floor (0.429950714111328 × 131072)
    floor (56354.5)     		tx = 56354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106349945068359 × 217)
    floor (0.106349945068359 × 131072)
    floor (13939.5)     		ty = 13939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56354 / 13939 ti = "17/56354/13939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56354/13939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56354 ÷ 217
    56354 ÷ 131072     		x = 0.429946899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13939 ÷ 217
    13939 ÷ 131072     		y = 0.106346130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429946899414062 × 2 - 1) × π
    -0.140106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44015661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106346130371094 × 2 - 1) × π
    0.787307739257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.47340020969604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44015661} λ = -0.44015661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47340020969604))-π/2
    2×atan(11.8627140697594)-π/2
    2×1.48669741490544-π/2
    2.97339482981087-1.57079632675     		φ = 1.40259850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44015661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.219116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40259850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.362974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56354 KachelY 13939 -0.44015661 1.40259850 -25.219116 80.362974
    Oben rechts KachelX + 1 56355 KachelY 13939 -0.44010868 1.40259850 -25.216370 80.362974
    Unten links KachelX 56354 KachelY + 1 13940 -0.44015661 1.40259048 -25.219116 80.362515
    Unten rechts KachelX + 1 56355 KachelY + 1 13940 -0.44010868 1.40259048 -25.216370 80.362515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40259850-1.40259048) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40259850-1.40259048) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44015661--0.44010868) × cos(1.40259850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167405880832643 × 6371000     		do = 51.1193996050252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44015661--0.44010868) × cos(1.40259048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167413787649517 × 6371000     		du = 51.1218140466768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40259850)-sin(1.40259048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167405880832643-0.167413787649517)×R²
    abs(-0.44010868--0.44015661)×7.9068168745422e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.9068168745422e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.9068168745422e-06×40589641000000     		ar = 2612.02887633861m²