Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56352 / 14240
↖ ↑ ↗
← N 80.223588°
W 25.224610°		 ← 51.86 m → N 80.223588°
W 25.221863°		 →
↑
51.86 m
↓
↑
51.86 m
↓
N 80.223121°
W 25.224610°		 ← 51.86 m →
2 690 m²		 N 80.223121°
W 25.221863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429935455322266 y=0.108646392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429935455322266 × 217)
    floor (0.429935455322266 × 131072)
    floor (56352.5)     		tx = 56352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108646392822266 × 217)
    floor (0.108646392822266 × 131072)
    floor (14240.5)     		ty = 14240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56352 / 14240 ti = "17/56352/14240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56352/14240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56352 ÷ 217
    56352 ÷ 131072     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14240 ÷ 217
    14240 ÷ 131072     		y = 0.108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    0.78271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4589712029104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4589712029104))-π/2
    2×atan(11.692775856134)-π/2
    2×1.48548103459157-π/2
    2.97096206918315-1.57079632675     		φ = 1.40016574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40016574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.223588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56352 KachelY 14240 -0.44025249 1.40016574 -25.224610 80.223588
    Oben rechts KachelX + 1 56353 KachelY 14240 -0.44020455 1.40016574 -25.221863 80.223588
    Unten links KachelX 56352 KachelY + 1 14241 -0.44025249 1.40015760 -25.224610 80.223121
    Unten rechts KachelX + 1 56353 KachelY + 1 14241 -0.44020455 1.40015760 -25.221863 80.223121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40016574-1.40015760) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dl = 51.8599400002888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40016574-1.40015760) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dr = 51.8599400002888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.44020455) × cos(1.40016574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169803812128263 × 6371000     		do = 51.8624549741218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.44020455) × cos(1.40015760) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169811833912636 × 6371000     		du = 51.86490503355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40016574)-sin(1.40015760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169803812128263-0.169811833912636)×R²
    abs(-0.44020455--0.44025249)×8.02178437300793e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.02178437300793e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.02178437300793e-06×40589641000000     		ar = 2689.64733334099m²