Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56352 / 13920
↖ ↑ ↗
← N 80.371707°
W 25.224610°		 ← 51.08 m → N 80.371707°
W 25.221863°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.371247°
W 25.224610°		 ← 51.09 m →
2 610 m²		 N 80.371247°
W 25.221863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429935455322266 y=0.106204986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429935455322266 × 217)
    floor (0.429935455322266 × 131072)
    floor (56352.5)     		tx = 56352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106204986572266 × 217)
    floor (0.106204986572266 × 131072)
    floor (13920.5)     		ty = 13920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56352 / 13920 ti = "17/56352/13920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56352/13920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56352 ÷ 217
    56352 ÷ 131072     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13920 ÷ 217
    13920 ÷ 131072     		y = 0.106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106201171875 × 2 - 1) × π
    0.78759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47431101078882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47431101078882))-π/2
    2×atan(11.8735235646001)-π/2
    2×1.48677361741532-π/2
    2.97354723483065-1.57079632675     		φ = 1.40275091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40275091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.371707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56352 KachelY 13920 -0.44025249 1.40275091 -25.224610 80.371707
    Oben rechts KachelX + 1 56353 KachelY 13920 -0.44020455 1.40275091 -25.221863 80.371707
    Unten links KachelX 56352 KachelY + 1 13921 -0.44025249 1.40274289 -25.224610 80.371247
    Unten rechts KachelX + 1 56353 KachelY + 1 13921 -0.44020455 1.40274289 -25.221863 80.371247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40275091-1.40274289) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40275091-1.40274289) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.44020455) × cos(1.40275091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167255619689355 × 6371000     		do = 51.0841714128054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.44020455) × cos(1.40274289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167263526710767 × 6371000     		du = 51.0865864206715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40275091)-sin(1.40274289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167255619689355-0.167263526710767)×R²
    abs(-0.44020455--0.44025249)×7.90702141223454e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.90702141223454e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.90702141223454e-06×40589641000000     		ar = 2610.22889168149m²