Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56350 / 86918
↖ ↑ ↗
← S 50.523905°
W 25.230103°		 ← 194.18 m → S 50.523905°
W 25.227356°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 50.525651°
W 25.230103°		 ← 194.17 m →
37 694 m²		 S 50.525651°
W 25.227356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429920196533203 y=0.663135528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429920196533203 × 217)
    floor (0.429920196533203 × 131072)
    floor (56350.5)     		tx = 56350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663135528564453 × 217)
    floor (0.663135528564453 × 131072)
    floor (86918.5)     		ty = 86918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56350 / 86918 ti = "17/56350/86918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56350/86918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56350 ÷ 217
    56350 ÷ 131072     		x = 0.429916381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86918 ÷ 217
    86918 ÷ 131072     		y = 0.663131713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429916381835938 × 2 - 1) × π
    -0.140167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44034836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663131713867188 × 2 - 1) × π
    -0.326263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02498678767604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44034836} λ = -0.44034836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02498678767604))-π/2
    2×atan(0.358801205972405)-π/2
    2×0.344493920034939-π/2
    0.688987840069878-1.57079632675     		φ = -0.88180849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44034836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.230103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88180849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.523905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56350 KachelY 86918 -0.44034836 -0.88180849 -25.230103 -50.523905
    Oben rechts KachelX + 1 56351 KachelY 86918 -0.44030042 -0.88180849 -25.227356 -50.523905
    Unten links KachelX 56350 KachelY + 1 86919 -0.44034836 -0.88183896 -25.230103 -50.525651
    Unten rechts KachelX + 1 56351 KachelY + 1 86919 -0.44030042 -0.88183896 -25.227356 -50.525651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88180849--0.88183896) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88180849--0.88183896) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44034836--0.44030042) × cos(-0.88180849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635756229458813 × 6371000     		do = 194.17631684194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44034836--0.44030042) × cos(-0.88183896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635732709678459 × 6371000     		du = 194.169133295621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88180849)-sin(-0.88183896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635756229458813-0.635732709678459)×R²
    abs(-0.44030042--0.44034836)×2.35197803539755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35197803539755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35197803539755e-05×40589641000000     		ar = 37693.6579279673m²