Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5635 / 9771
↖ ↑ ↗
← S 32.750323°
W 56.184082°		 ← 2 054.89 m → S 32.750323°
W 56.162109°		 →
↑
2 054.65 m
↓
↑
2 054.65 m
↓
S 32.768800°
W 56.184082°		 ← 2 054.46 m →
4 221 627 m²		 S 32.768800°
W 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343963623046875 y=0.596405029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343963623046875 × 214)
    floor (0.343963623046875 × 16384)
    floor (5635.5)     		tx = 5635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596405029296875 × 214)
    floor (0.596405029296875 × 16384)
    floor (9771.5)     		ty = 9771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5635 / 9771 ti = "14/5635/9771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5635/9771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5635 ÷ 214
    5635 ÷ 16384     		x = 0.34393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9771 ÷ 214
    9771 ÷ 16384     		y = 0.59637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.3121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98059722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.1927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.605538916000549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98059722} λ = -0.98059722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605538916000549))-π/2
    2×atan(0.545780217677782)-π/2
    2×0.499597683106419-π/2
    0.999195366212838-1.57079632675     		φ = -0.57160096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98059722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57160096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.750323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5635 KachelY 9771 -0.98059722 -0.57160096 -56.184082 -32.750323
    Oben rechts KachelX + 1 5636 KachelY 9771 -0.98021372 -0.57160096 -56.162109 -32.750323
    Unten links KachelX 5635 KachelY + 1 9772 -0.98059722 -0.57192346 -56.184082 -32.768800
    Unten rechts KachelX + 1 5636 KachelY + 1 9772 -0.98021372 -0.57192346 -56.162109 -32.768800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57160096--0.57192346) × R
    0.000322500000000003 × 6371000     		dl = 2054.64750000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57160096--0.57192346) × R
    0.000322500000000003 × 6371000     		dr = 2054.64750000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98059722--0.98021372) × cos(-0.57160096) × R
    0.000383500000000092 × 0.841035967280014 × 6371000     		do = 2054.88509658246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98059722--0.98021372) × cos(-0.57192346) × R
    0.000383500000000092 × 0.840861457752481 × 6371000     		du = 2054.45872120579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57160096)-sin(-0.57192346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841035967280014-0.840861457752481)×R²
    abs(-0.98021372--0.98059722)×0.000174509527533284×R²
    0.000383500000000092×0.000174509527533284×6371000²
    0.000383500000000092×0.000174509527533284×40589641000000     		ar = 4221626.53752012m²