Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5635 / 11925
↖ ↑ ↗
← S 63.124572°
W 56.184082°		 ← 1 104.49 m → S 63.124572°
W 56.162109°		 →
↑
1 104.29 m
↓
↑
1 104.29 m
↓
S 63.134503°
W 56.184082°		 ← 1 104.11 m →
1 219 463 m²		 S 63.134503°
W 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343963623046875 y=0.727874755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343963623046875 × 214)
    floor (0.343963623046875 × 16384)
    floor (5635.5)     		tx = 5635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727874755859375 × 214)
    floor (0.727874755859375 × 16384)
    floor (11925.5)     		ty = 11925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5635 / 11925 ti = "14/5635/11925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5635/11925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5635 ÷ 214
    5635 ÷ 16384     		x = 0.34393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11925 ÷ 214
    11925 ÷ 16384     		y = 0.72784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.3121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98059722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.4556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43158757025336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98059722} λ = -0.98059722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43158757025336))-π/2
    2×atan(0.238929303932539)-π/2
    2×0.234532352209461-π/2
    0.469064704418922-1.57079632675     		φ = -1.10173162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98059722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10173162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.124572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5635 KachelY 11925 -0.98059722 -1.10173162 -56.184082 -63.124572
    Oben rechts KachelX + 1 5636 KachelY 11925 -0.98021372 -1.10173162 -56.162109 -63.124572
    Unten links KachelX 5635 KachelY + 1 11926 -0.98059722 -1.10190495 -56.184082 -63.134503
    Unten rechts KachelX + 1 5636 KachelY + 1 11926 -0.98021372 -1.10190495 -56.162109 -63.134503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10173162--1.10190495) × R
    0.000173329999999972 × 6371000     		dl = 1104.28542999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10173162--1.10190495) × R
    0.000173329999999972 × 6371000     		dr = 1104.28542999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98059722--0.98021372) × cos(-1.10173162) × R
    0.000383500000000092 × 0.45205220965239 × 6371000     		do = 1104.48944472144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98059722--0.98021372) × cos(-1.10190495) × R
    0.000383500000000092 × 0.451897593979431 × 6371000     		du = 1104.11167557194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10173162)-sin(-1.10190495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45205220965239-0.451897593979431)×R²
    abs(-0.98021372--0.98059722)×0.000154615672959213×R²
    0.000383500000000092×0.000154615672959213×6371000²
    0.000383500000000092×0.000154615672959213×40589641000000     		ar = 1219463.02196343m²