Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56349 / 86919
↖ ↑ ↗
← S 50.525651°
W 25.232849°		 ← 194.17 m → S 50.525651°
W 25.230103°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
S 50.527397°
W 25.232849°		 ← 194.16 m →
37 705 m²		 S 50.527397°
W 25.230103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429912567138672 y=0.663143157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429912567138672 × 217)
    floor (0.429912567138672 × 131072)
    floor (56349.5)     		tx = 56349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663143157958984 × 217)
    floor (0.663143157958984 × 131072)
    floor (86919.5)     		ty = 86919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56349 / 86919 ti = "17/56349/86919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56349/86919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56349 ÷ 217
    56349 ÷ 131072     		x = 0.429908752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86919 ÷ 217
    86919 ÷ 131072     		y = 0.663139343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429908752441406 × 2 - 1) × π
    -0.140182495117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44039630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663139343261719 × 2 - 1) × π
    -0.326278686523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.02503472457566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44039630} λ = -0.44039630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02503472457566))-π/2
    2×atan(0.358784006567257)-π/2
    2×0.34447868222552-π/2
    0.68895736445104-1.57079632675     		φ = -0.88183896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44039630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.232849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88183896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.525651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56349 KachelY 86919 -0.44039630 -0.88183896 -25.232849 -50.525651
    Oben rechts KachelX + 1 56350 KachelY 86919 -0.44034836 -0.88183896 -25.230103 -50.525651
    Unten links KachelX 56349 KachelY + 1 86920 -0.44039630 -0.88186944 -25.232849 -50.527397
    Unten rechts KachelX + 1 56350 KachelY + 1 86920 -0.44034836 -0.88186944 -25.230103 -50.527397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88183896--0.88186944) × R
    3.04800000000549e-05 × 6371000     		dl = 194.18808000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88183896--0.88186944) × R
    3.04800000000549e-05 × 6371000     		dr = 194.18808000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44039630--0.44034836) × cos(-0.88183896) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635732709678459 × 6371000     		do = 194.169133295846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44039630--0.44034836) × cos(-0.88186944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635709181588591 × 6371000     		du = 194.161947211587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88183896)-sin(-0.88186944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635732709678459-0.635709181588591)×R²
    abs(-0.44034836--0.44039630)×2.35280898679413e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35280898679413e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35280898679413e-05×40589641000000     		ar = 37704.6334669878m²