Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56348 / 87211
↖ ↑ ↗
← S 51.032758°
W 25.235595°		 ← 192.03 m → S 51.032758°
W 25.232849°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
S 51.034486°
W 25.235595°		 ← 192.03 m →
36 886 m²		 S 51.034486°
W 25.232849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429904937744141 y=0.665370941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429904937744141 × 217)
    floor (0.429904937744141 × 131072)
    floor (56348.5)     		tx = 56348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665370941162109 × 217)
    floor (0.665370941162109 × 131072)
    floor (87211.5)     		ty = 87211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56348 / 87211 ti = "17/56348/87211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56348/87211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56348 ÷ 217
    56348 ÷ 131072     		x = 0.429901123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87211 ÷ 217
    87211 ÷ 131072     		y = 0.665367126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.14019775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44044423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665367126464844 × 2 - 1) × π
    -0.330734252929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.03903229926472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44044423} λ = -0.44044423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03903229926472))-π/2
    2×atan(0.353796885863181)-π/2
    2×0.340053333129232-π/2
    0.680106666258465-1.57079632675     		φ = -0.89068966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44044423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.235595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89068966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.032758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56348 KachelY 87211 -0.44044423 -0.89068966 -25.235595 -51.032758
    Oben rechts KachelX + 1 56349 KachelY 87211 -0.44039630 -0.89068966 -25.232849 -51.032758
    Unten links KachelX 56348 KachelY + 1 87212 -0.44044423 -0.89071981 -25.235595 -51.034486
    Unten rechts KachelX + 1 56349 KachelY + 1 87212 -0.44039630 -0.89071981 -25.232849 -51.034486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89068966--0.89071981) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dl = 192.085649999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89068966--0.89071981) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dr = 192.085649999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44044423--0.44039630) × cos(-0.89068966) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628875961630877 × 6371000     		do = 192.034840261702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44044423--0.44039630) × cos(-0.89071981) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628852519549913 × 6371000     		du = 192.027681940271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89068966)-sin(-0.89071981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628875961630877-0.628852519549913)×R²
    abs(-0.44039630--0.44044423)×2.34420809637204e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34420809637204e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34420809637204e-05×40589641000000     		ar = 36886.4496116568m²