Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56348 / 86917
↖ ↑ ↗
← S 50.522158°
W 25.235595°		 ← 194.14 m → S 50.522158°
W 25.232849°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
S 50.523905°
W 25.235595°		 ← 194.14 m →
37 700 m²		 S 50.523905°
W 25.232849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429904937744141 y=0.663127899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429904937744141 × 217)
    floor (0.429904937744141 × 131072)
    floor (56348.5)     		tx = 56348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663127899169922 × 217)
    floor (0.663127899169922 × 131072)
    floor (86917.5)     		ty = 86917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56348 / 86917 ti = "17/56348/86917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56348/86917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56348 ÷ 217
    56348 ÷ 131072     		x = 0.429901123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86917 ÷ 217
    86917 ÷ 131072     		y = 0.663124084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.14019775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44044423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663124084472656 × 2 - 1) × π
    -0.326248168945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.02493885077642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44044423} λ = -0.44044423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02493885077642))-π/2
    2×atan(0.358818406202059)-π/2
    2×0.344509158408198-π/2
    0.689018316816395-1.57079632675     		φ = -0.88177801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44044423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.235595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88177801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.522158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56348 KachelY 86917 -0.44044423 -0.88177801 -25.235595 -50.522158
    Oben rechts KachelX + 1 56349 KachelY 86917 -0.44039630 -0.88177801 -25.232849 -50.522158
    Unten links KachelX 56348 KachelY + 1 86918 -0.44044423 -0.88180849 -25.235595 -50.523905
    Unten rechts KachelX + 1 56349 KachelY + 1 86918 -0.44039630 -0.88180849 -25.232849 -50.523905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88177801--0.88180849) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88177801--0.88180849) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44044423--0.44039630) × cos(-0.88177801) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635779756367622 × 6371000     		do = 194.142997037217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44044423--0.44039630) × cos(-0.88180849) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635756229458813 × 6371000     		du = 194.135812812583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88177801)-sin(-0.88180849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635779756367622-0.635756229458813)×R²
    abs(-0.44039630--0.44044423)×2.35269088098011e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35269088098011e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35269088098011e-05×40589641000000     		ar = 37699.5582975551m²