Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56347 / 87209
↖ ↑ ↗
← S 51.029304°
W 25.238342°		 ← 192.09 m → S 51.029304°
W 25.235595°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
S 51.031031°
W 25.238342°		 ← 192.08 m →
36 885 m²		 S 51.031031°
W 25.235595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429897308349609 y=0.665355682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429897308349609 × 217)
    floor (0.429897308349609 × 131072)
    floor (56347.5)     		tx = 56347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665355682373047 × 217)
    floor (0.665355682373047 × 131072)
    floor (87209.5)     		ty = 87209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56347 / 87209 ti = "17/56347/87209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56347/87209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56347 ÷ 217
    56347 ÷ 131072     		x = 0.429893493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87209 ÷ 217
    87209 ÷ 131072     		y = 0.665351867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429893493652344 × 2 - 1) × π
    -0.140213012695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44049217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665351867675781 × 2 - 1) × π
    -0.330703735351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.03893642546548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44049217} λ = -0.44049217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03893642546548))-π/2
    2×atan(0.353830807340853)-π/2
    2×0.34008348061666-π/2
    0.680166961233319-1.57079632675     		φ = -0.89062937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44049217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.238342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89062937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.029304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56347 KachelY 87209 -0.44049217 -0.89062937 -25.238342 -51.029304
    Oben rechts KachelX + 1 56348 KachelY 87209 -0.44044423 -0.89062937 -25.235595 -51.029304
    Unten links KachelX 56347 KachelY + 1 87210 -0.44049217 -0.89065951 -25.238342 -51.031031
    Unten rechts KachelX + 1 56348 KachelY + 1 87210 -0.44044423 -0.89065951 -25.235595 -51.031031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89062937--0.89065951) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89062937--0.89065951) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44049217--0.44044423) × cos(-0.89062937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628922836303119 × 6371000     		do = 192.089222680876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44049217--0.44044423) × cos(-0.89065951) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628899403140179 × 6371000     		du = 192.082065589744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89062937)-sin(-0.89065951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628922836303119-0.628899403140179)×R²
    abs(-0.44044423--0.44049217)×2.34331629405116e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34331629405116e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34331629405116e-05×40589641000000     		ar = 36884.6580357566m²