Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56346 / 87204
↖ ↑ ↗
← S 51.020666°
W 25.241089°		 ← 192.13 m → S 51.020666°
W 25.238342°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
S 51.022394°
W 25.241089°		 ← 192.12 m →
36 904 m²		 S 51.022394°
W 25.238342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429889678955078 y=0.665317535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429889678955078 × 217)
    floor (0.429889678955078 × 131072)
    floor (56346.5)     		tx = 56346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665317535400391 × 217)
    floor (0.665317535400391 × 131072)
    floor (87204.5)     		ty = 87204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56346 / 87204 ti = "17/56346/87204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56346/87204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56346 ÷ 217
    56346 ÷ 131072     		x = 0.429885864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87204 ÷ 217
    87204 ÷ 131072     		y = 0.665313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429885864257812 × 2 - 1) × π
    -0.140228271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44054011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665313720703125 × 2 - 1) × π
    -0.33062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03869674096738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44054011} λ = -0.44054011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03869674096738))-π/2
    2×atan(0.353915625264687)-π/2
    2×0.340158859167033-π/2
    0.680317718334066-1.57079632675     		φ = -0.89047861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44054011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.241089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89047861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.020666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56346 KachelY 87204 -0.44054011 -0.89047861 -25.241089 -51.020666
    Oben rechts KachelX + 1 56347 KachelY 87204 -0.44049217 -0.89047861 -25.238342 -51.020666
    Unten links KachelX 56346 KachelY + 1 87205 -0.44054011 -0.89050876 -25.241089 -51.022394
    Unten rechts KachelX + 1 56347 KachelY + 1 87205 -0.44049217 -0.89050876 -25.238342 -51.022394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89047861--0.89050876) × R
    3.01500000000621e-05 × 6371000     		dl = 192.085650000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89047861--0.89050876) × R
    3.01500000000621e-05 × 6371000     		dr = 192.085650000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44054011--0.44049217) × cos(-0.89047861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629040040189884 × 6371000     		do = 192.125019764499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44054011--0.44049217) × cos(-0.89050876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629016602111004 × 6371000     		du = 192.117861171913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89047861)-sin(-0.89050876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629040040189884-0.629016602111004)×R²
    abs(-0.44049217--0.44054011)×2.34380788796118e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34380788796118e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34380788796118e-05×40589641000000     		ar = 36903.77177405m²