Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56344 / 89112
↖ ↑ ↗
← S 54.201010°
W 25.246582°		 ← 178.66 m → S 54.201010°
W 25.243835°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
S 54.202617°
W 25.246582°		 ← 178.65 m →
31 915 m²		 S 54.202617°
W 25.243835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429874420166016 y=0.679874420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429874420166016 × 217)
    floor (0.429874420166016 × 131072)
    floor (56344.5)     		tx = 56344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679874420166016 × 217)
    floor (0.679874420166016 × 131072)
    floor (89112.5)     		ty = 89112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56344 / 89112 ti = "17/56344/89112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56344/89112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56344 ÷ 217
    56344 ÷ 131072     		x = 0.42987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89112 ÷ 217
    89112 ÷ 131072     		y = 0.67987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.1402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44063598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.3597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13016034544244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44063598} λ = -0.44063598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13016034544244))-π/2
    2×atan(0.322981463664305)-π/2
    2×0.312405120111594-π/2
    0.624810240223187-1.57079632675     		φ = -0.94598609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44063598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94598609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.201010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56344 KachelY 89112 -0.44063598 -0.94598609 -25.246582 -54.201010
    Oben rechts KachelX + 1 56345 KachelY 89112 -0.44058804 -0.94598609 -25.243835 -54.201010
    Unten links KachelX 56344 KachelY + 1 89113 -0.44063598 -0.94601413 -25.246582 -54.202617
    Unten rechts KachelX + 1 56345 KachelY + 1 89113 -0.44058804 -0.94601413 -25.243835 -54.202617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94598609--0.94601413) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94598609--0.94601413) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44063598--0.44058804) × cos(-0.94598609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58494337144591 × 6371000     		do = 178.656762081845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44063598--0.44058804) × cos(-0.94601413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584920628697219 × 6371000     		du = 178.649815860996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94598609)-sin(-0.94601413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58494337144591-0.584920628697219)×R²
    abs(-0.44058804--0.44063598)×2.27427486912957e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27427486912957e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27427486912957e-05×40589641000000     		ar = 31915.1309192843m²