Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56343 / 13927
↖ ↑ ↗
← N 80.368490°
W 25.249329°		 ← 51.10 m → N 80.368490°
W 25.246582°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.368031°
W 25.249329°		 ← 51.10 m →
2 611 m²		 N 80.368031°
W 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429866790771484 y=0.106258392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429866790771484 × 217)
    floor (0.429866790771484 × 131072)
    floor (56343.5)     		tx = 56343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106258392333984 × 217)
    floor (0.106258392333984 × 131072)
    floor (13927.5)     		ty = 13927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56343 / 13927 ti = "17/56343/13927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56343/13927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56343 ÷ 217
    56343 ÷ 131072     		x = 0.429862976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13927 ÷ 217
    13927 ÷ 131072     		y = 0.106254577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429862976074219 × 2 - 1) × π
    -0.140274047851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44068392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106254577636719 × 2 - 1) × π
    0.787490844726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.47397545249148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44068392} λ = -0.44068392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47397545249148))-π/2
    2×atan(11.8695399736502)-π/2
    2×1.48674555076712-π/2
    2.97349110153425-1.57079632675     		φ = 1.40269477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44068392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.249329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40269477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.368490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56343 KachelY 13927 -0.44068392 1.40269477 -25.249329 80.368490
    Oben rechts KachelX + 1 56344 KachelY 13927 -0.44063598 1.40269477 -25.246582 80.368490
    Unten links KachelX 56343 KachelY + 1 13928 -0.44068392 1.40268675 -25.249329 80.368031
    Unten rechts KachelX + 1 56344 KachelY + 1 13928 -0.44063598 1.40268675 -25.246582 80.368031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40269477-1.40268675) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40269477-1.40268675) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44068392--0.44063598) × cos(1.40269477) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167310968613296 × 6371000     		do = 51.1010763988584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44068392--0.44063598) × cos(1.40268675) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167318875559389 × 6371000     		du = 51.1034913837198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40269477)-sin(1.40268675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167310968613296-0.167318875559389)×R²
    abs(-0.44063598--0.44068392)×7.90694609259512e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.90694609259512e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.90694609259512e-06×40589641000000     		ar = 2611.09265838127m²